用简单的公式描述配电网辐射状约束
本文基于供电环路提出了一种描述配电网辐射状约束的简单方法。
问题源起
目前，国内外配电网大多采用以辐射状结构运行的分区供电方式，这在配电网重构和规划等问题的求解中是需要考虑的一个难点。为了避免或减少在配电网问题求解中不可行解的产生，有必要研究配电网保持辐射状结构所须满足的约束条件及其数学模型。
配电网由于其体量大，通常采用分区化的方法进行规划。在分析配电网问题时通常也是对各个分区分别进行计算，并对网络做适当的简化，以提高计算效率。但对于配电网中一些较为复杂的问题，如N-1可装容量优化计算，仅求解单个分区就需要数十秒时间。一个城市配电网的供电分区数量可达数百甚至上千，为了提高分析计算的效率，改进配电网辐射状约束的描述方法，降低配电网问题数学模型的复杂度具有实际意义。为此，本文基于供电环路的概念，提出了一种简单的配电网辐射状约束描述方法。
主要思路
基于供电环路的辐射状约束描述
为了使配电网辐射状约束描述方法不受具体网络或问题的影响，本文从图论的角度出发，提出配电网满足辐射状拓扑约束的充分必要条件。首先给出配电网络中供电环路的概念，供电环路具体包含有如下三类对象：
1）网络中不包含电源的环路；
2）网络中包含一个电源的环路；
3）两个电源之间的路径。
利用上述概念，本文提出条件1和条件2是配电网络拓扑满足辐射状的充分必要条件。
条件1：网络中有$N-N_s$条闭合的支路。
条件2：网络中不存在连通的供电环路。
条件1和条件2的数学公式表示如下：
$$\sum\limits_{b = 1}^B {x_b = N - N_s} $$
$$\sum\limits_{m = 1}^{M_l} {x_{lm} \le M_l - 1}$$
式中：$B$为配电网络中的支路总数；$b$为支路序号；$x$为支路状态，当支路闭合时值为1，当支路断开时值为0；$x_b$为第$b$条支路的状态；$L$为网络中供电环路总数；$M_l$为第$l$个供电环路中的支路数量；$x_{lm}$为第$l$个供电环路中的第$m$条支路的状态。
上述两个公式即为基于供电环路的配电网辐射状约束描述模型。
供电环路搜索算法
采用基于供电环路的方法描述配电网的辐射状约束，首先需要获取配电网中所有的供电环路。本文提出一种基于深度优先遍历的供电环路搜索算法，获取配电网中的所有供电环路。
图的基本环路可由其生成树得到，在生成树中加入任意一条连支都会产生一个环路，这些环路的集合即为图的一组基本环路。推广到基本供电环路，其可由图的生成森林得到。配电网的辐射状结构即可视为其拓扑图的一个生成森林，每棵树中包含一个电源，加入任意一条连支，则会产生一个环路，或将两棵树合并为一棵树从而产生从一个电源到另一个电源的一条路径，这些环路和路径的集合构成一组基本供电环路。本文提出基于深度优先遍历算法，在搜索生成森林的过程中得到基本供电环路，算法流程如下图所示。
配电网拓扑图中的支路以某一顺序排列，为每个供电环路定义一个长度为$B$的二值数组，与顺序排列的支路对应。对于供电环路中包含的支路，在数组中的对应位置赋值为1，其它位置赋值为0。两个供电环路的组合的方法为对两者的二值数组逐位进行异或运算，这样新的供电环路中仅保留了二者各自独有的支路。
由基本供电环路组合得到所有供电环路的过程如下：在供电环路集合中，初始加入一个基本供电环路。然后依次将剩余的基本供电环路与集合中所有的供电环路进行组合，将该基本供电环路与新得到的供电环路加入集合中。最后对得到的供电环路中的支路按拓扑连接顺序排列，若支路无法连接到一起，则该供电环路不存在，将其从供电环路集合中删除。
主要贡献
提出了一种基于供电环路的配电网辐射状约束描述方法，相比现有方法，该方法的数学模型复杂度较低。
提出了一种能够搜索配电网中所有供电环路的算法。
结论、思考与讨论
本文从图论的角度出发，利用供电环路提出了配电网满足辐射状拓扑约束的充分必要条件，并建立了其数学模型。所提配电网辐射状约束描述方法的特点是变量和约束条件的数量较少，数学模型复杂度较低，并且以图论为基础，其应用不受具体配电网问题的限制。
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