本次课内容

我们会先介绍图论的基础知识，然后在此基础上说明几种配电网辐射状约束的等价描述方法，它们分别是：

• 基于潮流约束的配电网辐射状约束描述方法
• 基于虚拟潮流的配电网辐射状约束描述方法
• 基于图的生成树的配电网辐射状约束描述方法
• 基于供电路径的配电网辐射状约束描述方法
• 基于供电环路的配电网辐射状约束描述方法

图的定义

图是由点集\(V=\{v_{i}\}\)和\(V\)中元素对的集合\(E=\{e_{k}\}\)所构成的二元组，记为\(G=(V,E)\)。

\(V\)中的元素\(v_{i}\)叫作顶点，\(E\)中的元素\(e_{k}\)叫作边。两个点\(u\)，\(v\)属于\(V\)，如果边(\(u,v\))属于\(E\)，则称\(u\)，\(v\)两点相邻，\(u\)和\(v\)称为边(\(u,v\))的端点。在一个图中，边的长短、形状是无所谓的，可称图\(G\)为线形图、拓扑图或线图。

对于任意一条属于\(E\)的边\((v_{i},v_{j})\)，如果边\((v_{i},v_{j})\)的端点无序，则其为无向边，此时图\(G\)称为无向图。如果边\((v_{i},v_{j})\)的端点有序，即它表示以\(v_{i}\)为始点、\(v_{j}\)为终点的有向边，此时图\(G\)称为有向图。例如，图示例中的\(G_{1}\)是无向图，\(G_{2}\)是有向图。

生成子图和生成树

图\(G=(V,E)\)，若\(E'\)是\(E\)的子集，\(V'\)是\(V\)的子集，且\(E'\)中的边仅与\(V'\)中的顶点相关联，则称\(G'=(V',E')\)是\(G\)的一个子图。特别地，若\(V'=V\)，则\(G'\)称为\(G\)的生成子图。若图\(G\)的生成子图是一棵树，则称该树为图\(G\)的生成树。

图的一些概念

在无向图\(G=(V,E)\)中，一条从顶点\(v_0\)到\(v_k\)的路径是一个顶点的序列\((s,v_1,v_2,\cdots,v_{k-1},v_k)\)，使得\((v_0,v_1)\), \((v_1,v_2)\), …, \((v_{k-1},v_{k})\)是图\(G\)的边。路径上边的数目称为路径长度。

除起始顶点和终止顶点可以相同以外，如果一条路径上的所有其他顶点各不相同，则称其为简单路径。起始顶点和终止顶点相同的简单路径称为回路。

一个图中任意两点间至少存在一条路径，则称此图为连通图。任何一个不连通图都可以分为若干个连通子图，每一个称为原图的一个分图。

树

连通并且不含回路的无向图称为树。树中度为1的顶点称为树叶，度大于1的节点称为分枝点。

若图\(G=(V,E)\)中顶点的数量为\(N\)，边的数量为\(B\)，则下列关于\(G\)为树的说法是等价的。

（1）\(G\)是一棵树。

（2）\(G\)中无回路，且\(B=N-1\)。

（3）\(G\)连通，且\(B=N-1\)。

（4）\(G\)中无回路，但每加一条新边即得唯一一个回路。

（5）\(G\)连通，但舍去任意一条边就不连通。

（6）\(G\)中任意两点之间存在唯一一条路径。

图\(G\)中属于生成树的边称为树枝，不在生成树中的边称为连枝。图\(G\)有生成树的充分必要条件是\(G\)为连通图。寻找图的生成树可采用深度优先搜索和广度优先搜索两种不同方法。

无向图的生成森林是由若干棵互不相交的树组成的子图，这些树包含了图中的全部顶点。

基于潮流约束的配电网辐射状约束描述方法

通过改变配电网络支路上的开关状态，可以改变配电网的拓扑结构。配电网的网络拓扑可以看作是由\(B\)条边和\(N\)个顶点组成的图；配电网在运行中的辐射状结构，可将其看作由多棵树组成的森林。因此可以采用运筹学中图和树的相关理论来研究配电网的拓扑模型。为了便于表述，后续内容将图中的边表述为支路，将顶点改用节点表述，将回路改用环路表述。

对于仅含一个电源节点的配电网，要使网络呈辐射状结构，即是使所有节点和连通的支路构成一棵树。根据树的第3种等价描述，易得保证配电网为辐射状结构需要满足以下两个条件：

• （1）网络是连通的。
• （2）闭合支路数等于节点总数减1。

辐射状结构约束

对于含有多个电源的配电网，为保证其为辐射状结构，可对上述条件进行修正：

• （3）网络多个连通子图构成，并且每个连通子图中包含一个电源节点。
• （4）闭合支路数等于节点总数减去电源节点的数量。

容易证明上述两个条件是配电网满足辐射状结构的充分必要条件。其中，条件4可以用一条简单的等式约束表示：

式中：\(B\)为配电网络中的支路总数；\(b\)为支路序号，\(b=1,2,\cdots,B\)；\(x\)为表示支路状态的二进制变量，当支路闭合时值为1，当支路断开时值为0；\(x_b\)为第\(b\)条支路的状态。

潮流平衡约束

对于上述条件3，在配电网络中不含联络节点或分布式电源的情况下，可以利用潮流平衡约束使网络满足该约束。若忽略三相不对称的影响和线路损耗，则潮流方程如下：

\[ \sum_{n_j\in\Gamma_i}{f_{ij}}=-u_i,n_i\in\Omega_u \]

式中：\(n_i\)和\(n_j\)为第b条支路两端的节点；\(\Gamma_i\)为节点\(n_i\)的邻接节点集合；\(f_{ij}\)为由节点\(n_i\)流向节点\(n_j\)的功率，其满足关系\(f_{ij}\)=−\(f_{ji}\)；\(u_i\)为第i个节点的负荷量；\(\Omega_u\)为负荷节点集合。

支路潮流约束

支路上的潮流还应与支路状态建立联系，即若支路状态为断，则支路上无潮流通过：

\[ -x_bF_b \leqslant f_{ij} \leqslant x_bF_b \]

式中：\(F_b\)为第\(b\)条支路的最大功率流量。

上述三个不等式即为基于潮流约束的配电网辐射状约束描述模型。该模型存在的缺陷是不适用于含有联络节点的网络。因为联络节点的注入功率是0，这将导致潮流约束失效。这一缺陷限制了该模型的通用性，一种解决方案是为所有非变电站节点额外注入一个较小的功率，以消除联络节点的影响，但该方法会在问题计算结果中引入一定的误差。

基于虚拟潮流的配电网辐射状约束描述方法

针对基于潮流约束的配电网辐射状约束描述方法无法有效处理联络节点的问题，本节介绍一种基于虚拟潮流的配电网辐射状约束描述方法。该方法仍利用上节所述的条件3，4使配电网满足辐射状结构，并仍基于潮流平衡的思路使的条件3得到满足。

为了解决连通性的问题，本节定义“虚拟需求”的概念，并赋予其以下性质:

• （1）虚拟需求仅由电源节点提供;
• （2）除电源节点以外的其他所有带电节点均各有一个单位的虚拟需求;
• （3）虚拟需求通过实际供电支路传输。

不同于实际功率需求，虚拟需求是一种假想的、虚构的需求，它的引入仅仅是为了使得任一带电节点与某一电源节点之间有由实际供电支路构成的连通路径，并未改变电源节点、分布式电源节点输出实际功率的属性或联络节点转送实际功率的属性，亦未改变配电网的拓扑结构。

虚拟潮流

下图是一个 9 节点配电网络示意图，其中节点 1 是电源节点，节点 5 和 7 是分布式电源节点，节点2、3、8是联络节点，节点4、6、9是负荷节点。电源节点1作为唯一的虚拟需求供出点向每个分布式电源节点、联络节点和负荷节点分别提供一个单位的虚拟需求，虚拟需求的流通路径在图中以实线标注。可以看出，分布式电源节点、联络节点和负荷节点的虚拟需求保证了它们与电源节点之间必须有连通路径。通过引入虚拟需求，配电网中所有带电节点均与某一电源节点处在同一个连通图中，配电网的连通性得到了严格保证。

虚拟潮流约束描述模型

通过上述分析，为保证配电网为辐射状的条件3和条件4均能得到满足，只需在配电网问题数学模型的约束条件中分别将两个条件用数学语言描述即可。其中条件4采用与潮流约束相同的不等式来描述,表达式为：

\[ \sum_{b=1}^B{x_b}=N-N_s \]

条件3基于虚拟潮流的表达如下：

\[ v_{ij}=-v_{ji} \] \[ \sum_{n_j\in\Gamma_i}{v_{ji}}=1,n_i\in\Omega_u \]

式中：\(v_{ij}\)为由节点\(n_i\)流向节点\(n_j\)的虚拟潮流。

支路上的虚拟潮流还应与支路状态建立联系，即若支路状态为开断，则支路上应无虚拟潮流通过：

\[ -x_bN \leqslant v_{ij} \leqslant x_bN \]

上述四式即为基于虚拟潮流的配电网辐射状约束描述模型。

基于图的生成树的配电网辐射状约束描述方法

基于图的生成树的配电网辐射状约束描述方法也是利用条件3和条件4使配电网满足辐射状结构，不同的是该方法直接从图和生成树的概念出发推导配电网的拓扑模型。

利用图和生成树的概念，可以通过引入两个表示支路两端节点各自是否为对方的父节点的二进制变量\(α_{ij}\)和\(α_{ji}\),来使得配电网拓扑结构与图的生成树相对应。条件3可基于树的特性来描述：变电站节点为树的根节点，并且除了根节点（变电站节点）之外，其余节点均有且仅有一个父节点。根据上述描述可将条件3用如下约束来表示： \[ \sum_{n_j\in\Gamma_i}{\alpha_{ij}}=0,n_i\in\Omega_s \] \[ \sum_{n_j\in\Gamma_i}{\alpha_{ij}}=1,n_i\in\Omega_u \]

式中：\(α_{ij}\)为引入的二进制变量，在配电网的树状结构中当节点\(n_j\)为节点\(n_i\)的父节点时值为1，否则为0；\(\Omega_s\)为电源节点集合。

\(α_{ij}\)和\(α_{ji}\)与支路b相对应，需要与支路状态建立联系。若支路状态为开断，则支路两端节点不存在父子层级关系，\(α_{ij}\)和\(α_{ji}\)均应为0；若支路状态为通，则\(α_{ij}\)和\(α_{ji}\)二者中有且仅有一个为1：

\[ α_{ij}+α_{ji}=x_b \]

条件4仍采用与潮流约束描述方法相同的不等式来描述,表达式为：

\[ \sum_{b=1}^B{x_b}=N-N_s \]

上述四式即为基于图的生成树的配电网辐射状约束描述模型。

基于供电路径的配电网辐射状约束描述方法

供电路径是指从电源到负荷的一条连通路径。基于供电路径的配电网辐射状约束描述方法将配电网中的各节点分为负荷节点和电源节点，根据配电网的辐射状结构，每一个负荷节点有且仅有一条供电路径。由此，配电网络拓扑可以用该网络中所有负荷节点及其所有可能供电路径的集合加以描述。

定义\(\pi_{i,k}\)为负荷节点\(n_i\)的第\(k\)条可能供电路径。设负荷节点\(n_i\)共有\(z\)条可能的供电路径，若用集合\(\Pi_{i}\)表示上述所有供电路径,则：

根据配电网辐射状运行的特点,集合 \(\Pi_{i}\) 中的路径至多有一条是通路,故有必要对路径的连通与否进行描述，定义二进制变量 \(W_{i,k}\) 描述路径 \(\pi_{i,k}\) 的状态：

基于供电路径的配电网辐射状约束模型

如上所述配电网络是辐射状的须满足：对于任意一个负荷节点i对应的供电路径集合，有且仅有一条是连通的，即：

不同供电路径状态之间存在约束关系：若路径 \(\pi_{i,k}\) 为通路，那么包含在路径 \(\pi_{i,k}\) 内的任意路径 \(\pi_{l,m}\) 也是通路，即

上述两式即为基于供电路径的配电网辐射状约束描述模型。

基于深度优先遍历的配电网供电路径搜索算法

应用基于供电路径的配电网辐射状约束描述方法，首先需要搜索出配电网络中的所有供电路径，下图介绍了一种基于深度优先遍历的配电网供电路径搜索算法。

基于供电环路的配电网辐射状约束描述方法

当配电网处于弱环网运行状态时，其环路的数量远少于节点、支路或供电路径的数量，若能利用环路描述配电网拓扑，则可显著降低配电网拓扑模型的复杂度。基于此，本节将介绍一种新的基于供电环路的配电网辐射状约束描述方法。

首先给出配电网络中供电环路的概念。定义供电环路包含如下三类对象：

• （1）网络中不包含电源节点的环路。
• （2）网络中仅包含一个电源节点的环路。
• （3）两个电源节点之间的路径。

在上述定义的基础上，给出配电网络满足辐射状拓扑结构的充分必要条件如下：

• （1）配电网络中不存在连通的供电环路。
• （2）网络中的闭合支路数等于节点总数减去电源节点数。

条件2仍采用与潮流约束描述方法相同的不等式来描述,表达式为：

\[ \sum_{b=1}^B{x_b}=N-N_s \]

条件1可以用下式表示：

式中：\(L\)为网络中供电环路总数；\(M_l\)为第\(l\)个供电环路中的支路数量，\(l=1,2,...L\)；\(x_{lm}\)为第\(l\)个供电环路中的第\(m\)条支路的状态。

上述两式即为基于供电环路的配电网辐射状约束描述模型。

配电网供电环路搜索算法

采用上述基于供电环路非连通条件的方法描述配电网的辐射状约束，首先需要获取配电网中所有的供电环路。下图介绍了一种基于深度优先遍历的供电环路搜索算法，获取配电网中的所有供电环路。

基本供电环路组合得到所有供电环路

确定配电网拓扑图中的支路以某一顺序排列，在之后的分析中保持该顺序不变。为每个供电环路定义一个长度为\(B\)的二值数组，数组中的每一个元素对应一条支路，对应支路的顺序与前面确定的顺序相同。对于供电环路中包含的那些支路，对数组中的相应位置元素赋值为1，其他位置的元素赋值为0。两个供电环路的组合的方法为对两者的二值数组逐位进行异或运算，这样新的供电环路中仅保留了二者各自独有的支路。

由基本供电环路组合得到所有供电环路的过程如下：

• 在供电环路集合中，初始加入一个基本供电环路。
• 然后依次从剩余的基本供电环路中取出一条基本供电环路，与集合中所有的供电环路进行上述的组合操作，并将该基本供电环路与新得到的供电环路加入集合中。
• 最后对得到的供电环路中的支路按拓扑连接顺序排列，若支路无法连接到一起，则说明该组合得到供电环路不存在，应将其从供电环路集合中删除。

配电网拓扑描述方法对比

本节将本章介绍的4种配电网拓扑模型进行对比，分析每种方法的复杂程度及其适用场合。

基于网络潮流平衡约束的配电网辐射状约束描述方法较为简单，但是该方法给出约束条件并非是使网络满足辐射状结构的充分必要条件，当网络中存在联络节点等注入功率为0的节点时，该方法将会失效。

令P表示网络中的供电路径数量，这4种不同配电网拓扑模型的变量个数、变量类型和约束方程数量对比如下表所示。

根据上述分析可知

• 当配电网络中不存在联络节点等注入功率为 0 的节点时，采用基于网络潮流平衡约束的配电网辐射状约束描述方法。
• 当配电网络处于弱环网的运行状态时，采用基于供电环路的配电网辐射状约束描述方法。
• 当配电网络中的环路数量较多时，应采用基于虚拟潮流的配电网辐射状约束描述方法或基于图的生成树的配电网辐射状约束描述方法。
• 当所要分析的配电网问题与供电路径紧密相关，或用路径对问题进行描述更为简洁时，采用基于供电路径的配电网辐射状约束描述方法。

总结

本章介绍了5种配电网拓扑描述方法：

• 基于潮流约束的配电网辐射状约束描述方法
• 基于虚拟潮流的配电网辐射状约束描述方法
• 基于图的生成树的配电网辐射状约束描述方法
• 基于供电路径的配电网辐射状约束描述方法
• 基于供电环路的配电网辐射状约束描述方法

配电网拓扑模型是下一章将要介绍的配电网重构技术的理论基础之一，下一章将会涉及这些方法。这些方法的复杂程度与配电网络的结构特点、所要分析的具体问题之间有较强的相关性，在实际应用时应选择合适的方法，以提高问题分析的效率。