智能配电网络建模与分析

电压调节器模型

2020年

本次课程内容

双绕着变压器理论
双绕组自耦变压器
步进电压调节器

电压调节器模型

电压调节是配电馈线的重要功能。当馈线上的负载变化时，必须得有一些调节电压的方法，使得每个用户的电压保持在可接受的水平。

调节电压的常用方法

步进式电压调节器
负载抽头变换变压器（LTC）
并联电容器

标准电压

中国国家标准GB/T 156—2017规定了我国的标准电压，其中定义了以下几项系统电压术语：

系统标称电压：用于标志或识别系统电压的给定值。

系统最高电压：系统正常运行的任何时间，系统中任何一点上所出现的最高运行电压值。

系统最低电压：系统正常运行的任何时间，系统中任何一点上所出现的最低运行电压值。

设备额定电压：由制造商对一电气设备在规定的工作条件下所规定的电压。

设备最高电压：规定设备的最高电压是用以表示绝缘与设备最高电压相关联的其他性能。

中国国家标准GB/T 12325—2008规定了我国供电电压偏差标准，其中定义了下列术语：

供电点：供电部门配电系统与用户电气系统的联结点。

供电电压：供电点处的线电压或相电压。

电压偏差：实际运行电压对系统标称电压的偏差相对值，以百分数表示。

电压合格率：实际运行电压偏差在限值范围内累计运行时间与对应的总运行统计时间的百分比。

我国供电电压偏差的限值规定如下：35kV及以上供电电压正、负偏差绝对值之和不超过标称电压的10%；20kV及以下三相供电电压偏差为标称电压的±7%；220V单相供电电压偏差为标称电压的+7%，$-10$%；对供电点短路容量较小、供电距离较长以及对供电电压偏差有特殊要求的用户，由供、用电双方协议决定。

供电电压偏差的计算公式如下：

\[\begin{equation} \text{电压偏差}(\%) = \frac{\text{电压测量值}-\text{系统标称电压}}{\text{系统标称电压}}\times 100\% \end{equation}\]

不平衡电压定义如下：

\[\begin{equation} \text{不平衡电压} = \frac{\text{与平均电压的最大偏差}}{\text{平均电压}}\times 100\% \label{7.1} \end{equation}\]

配电工程师的任务是设计和运行配电系统，以便在正常的稳态条件下，所有用户的电表电压位于规定的电压偏差范围内，并且不平衡电压不超过3%。

用于维持系统电压的常用器件是步进电压调节器，它可以是单相或三相的。通过控制电压调节器就可以使输出电压随负载变化而变化。步进电压调节器基本上都是串联绕组上具有负载抽头的自耦变压器，通过改变自耦变压器串联绕组的匝数（抽头变化）来调整电压。

双绕组变压器理论

下图显示了双绕组变压器的精确等效电路。在图中，高压端子用${\rm H_1}$和${\rm H_2}$表示，低压端子用${\rm X_1}$和${\rm X_2}$表示。

电压和电流的相位标准规定如下：在空载时，${\rm H_1}$和${\rm H_2}$之间的电压与${\rm X_1}$和${\rm X_2}$之间的电压同相；在稳态负载条件下，电流$I_1$和$I_2$同相。

$双绕组变压器的精确等效电路\label{p7.1}$

在不引入明显误差的情况下，如图所示，可修改上一张图的精确等效电路，将一次侧的主阻抗（$Z_1$）等效到二次侧。参考此图，变压器的总等效阻抗由下式给出：

\[\begin{equation} Z_{\rm t} = n_{\rm t}^{2}\cdot Z_1 + Z_2 \label{7.2} \end{equation}\]

其中：

\[\begin{equation} n_{\rm t} = \frac{N_2}{N_1} \label{7.3} \end{equation}\] $[双绕组变压器的近似等效电路\label{p7.2}$

为了更好地理解步进电压调节器的模型，首先建立双绕组变压器的模型。参考图，理想变压器的公式为

\[\begin{align} E_2 & = \frac{N_2}{N_1}\cdot E_1 = n_{\rm t}\cdot E_1 \label{7.4} \\ I_1 & = \frac{N_2}{N_1}\cdot I_2 = n_{\rm t}\cdot I_2 \label{7.5} \end{align}\]

在二次侧电路中应用KVL：

\[\begin{equation} \label{7.6} \begin{split} E_2 &= V_{\rm L} + Z_{\rm t} \cdot I_2\\ V_{\rm s} &= E_1 = \frac{1}{n_{\rm t}}\cdot E_2 = \frac{1}{n_{\rm t}}\cdot V_{\rm L} + \frac{Z_{\rm t}}{n_{\rm t}}\cdot I_2 \end{split} \end{equation}\]

写成更一般的形式：

\[\begin{equation} V_{\rm s} = a\cdot V_{\rm L} + b\cdot I_2 \label{7.7} \end{equation}\]

其中：

$a = \frac{1}{n_{\rm t}} \label{7.8}$ $\quad$ $b = \frac{Z_{\rm t}}{n_{\rm t}} \label{7.9}$

双绕组变压器的输入电流由下式给出：

\[\begin{equation} I_{\rm s} = Y_{\rm m}\cdot V_{\rm s} + I_1 \label{7.10} \end{equation}\]

将$V_{\rm s}$和$I_1$代入上式：

\[\begin{equation} \label{7.11} \begin{split} I_{\rm s} &= Y_{\rm m}\cdot \frac{1}{n_{\rm t}}\cdot V_{\rm L} + Y_{\rm m}\cdot \frac{Z_{\rm t}}{n_{\rm t}}\cdot I_2 + n_{\rm t}\cdot I_2\\ ~ &= \frac{Y_{\rm m}}{n_{\rm t}}\cdot V_{\rm L} + \left( \frac{Y_{\rm m}\cdot Z_{\rm t}}{n_{\rm t}} + n_{\rm t}\right ) \cdot I_2 \end{split} \end{equation}\]

简写为

\[\begin{equation} I_{\rm s} = c\cdot V_{\rm L} + d\cdot I_2 \label{7.12} \end{equation}\]

其中：

\[\begin{gather} c = \frac{Y_{\rm m}}{n_{\rm t}} \label{7.13}\\ d = \frac{Y_{\rm m}\cdot Z_{\rm t}}{n_{\rm t}} + n_{\rm t} \label{7.14} \end{gather}\]

当负载电压和电流已知时，式$V_{\rm s}$和式$I_{\rm s}$可用于计算双绕组变压器的输入电压和电流。这两个公式与第2章中为三相线路模型推导的公式具有相同的形式。此时唯一的区别是建模对象只有单相双绕组变压器。在本章后面，对于所有可能的三相电压调节器接法，$a$、$b$、$c$和$d$将扩展为3 $\times$ 3矩阵。

有时候，特别是在迭代过程中，需要通过输入电压$V_{\rm s}$和负载电流$I_2$来计算输出电压。对于负载电压$V_{\rm L}$可由式$V_{\rm s}$得出：

\[\begin{equation} V_{\rm L} = \frac{1}{a}\cdot V_{\rm s} - \frac{b}{a}\cdot I_2 \label{7.15} \end{equation}\]

将$a$和$b$代入上式得

\[\begin{equation} V_{\rm L} = A\cdot V_{\rm s} - B\cdot I_2 \label{7.16} \end{equation}\]

其中：

\[\begin{gather} A = n_{\rm t} \label{7.17}\\ B = Z_{\rm t} \label{7.18} \end{gather}\]

在本章后面，对于所有可能的三相变压器接法，$A$和$B$的表达式将扩展为3 $\times$ 3矩阵。

例题一

单相变压器的额定值为75 kVA，2400V-240 V。变压器具有以下阻抗和并联导纳：

$Z_1$ = 0.612 + j1.2 ($\Omega$) (高压绕组阻抗)

$Z_2$ = 0.0061 + j0.0115 ($\Omega$) (低压绕组阻抗)

$Y_{\rm m}$ = 1.92×10 $^{-4}$ – j8.52×10 $^{-4}$ (S)(等效到高压绕组)

计算广义常数$a$、$b$、$c$、$d$和$A$、$B$。

解答

变压器匝数比$n_{\rm t}$为

\[ n_{\rm t} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{V_{\rm rated\ 2}}{V_{\rm rated\ 1}} = \frac{240}{2400} = 0.1 \]

等效到低压侧的变压器阻抗为

\[ Z_{\rm t} = n_{\rm t}^{2}\cdot Z_1 + Z_2 = 0.0122+{\rm j}0.0235 \ \text{(}\Omega \text{)} \]

广义常数为

\[\begin{gather*} a = \frac{1}{n_{\rm t}} = \frac{1}{0.1} = 10\\ b = \frac{Z_{\rm t}}{0.1} = 0.1222 + {\rm j}0.2350\\ c = \frac{Y_{\rm m}}{n_{\rm t}} = 0.0019 - {\rm j}0.0085\\ d = \frac{Y_{\rm m}\cdot Z_{\rm t}}{n_{\rm t}}+n_{\rm t} = 0.1002-{\rm j}0.0001 \end{gather*}\]

\[\begin{gather*} A = n_{\rm t} = 0.1\\ B = Z_{\rm t} = 0.0122+{\rm j}0.0235 \end{gather*}\]

假设变压器在额定负载（75 kVA）和额定电压（240 V）下工作，功率因数为0.9（滞后）。负荷处电压和电流为

\[\begin{align} V_{\rm L} & = 240\angle{0} \ \text{V} \notag \\ I_2 & = \frac{75\times 1000}{240}\angle{-\cos^{-1}(0.9)} = 312.5\angle{-25.84} \notag \end{align}\]

应用上述计算的$a$、$b$、$c$和$d$参数的值，计算高压端电压和电流：

\[\begin{align} V_{\rm s} & = a\cdot V_{\rm L} + b\cdot I_2 = 2466.9\angle{1.15}\ {\rm V} \notag \\ I_{\rm s} & = c\cdot V_{\rm L} + d\cdot I_2 = 32.67\angle{-28.75}\ {\rm A} \notag \end{align}\]

使用计算得到的高压端电压和负载电流，计算负载电压：

\[\begin{align} V_{\rm L} & = A\cdot V_{\rm s} - B\cdot I_2 = (0.1)\cdot (2466.9\angle{1.15}) -(0.0122+{\rm j}0.0235)\cdot (312.5\angle{-25.84}) \notag \\ ~ & = 240.0\angle{0}\ {\rm V} \notag \end{align}\]

为了方便后面分析参考，计算变压器的基准阻抗如下：

\[\begin{align} Z_{\rm base_2} & = \frac{V_{\rm rated\ 2} ^{2}}{kVA\cdot 1000} = \frac{240^{2}}{75000} = 0.768 \ \Omega \notag \\ Z_{\rm pu} & = \frac{Z_{\rm t}}{Z_{\rm base_2}} = \frac{0.0122+{\rm j}0.0155}{0.768} = 0.0159 + \text{j}0.0306 \notag \end{align}\]

单位并联导纳计算如下：

\[\begin{align} Y_{\rm base_1} & = \frac{kVA\cdot 1000}{V_{\rm rated\ 1}^{2}} = 0.013 \ {\rm S} \notag \\ Y_{\rm pu} & = \frac{Y_{\rm m}}{Y_{\rm base}} = \frac{1.92\cdot 10^{-4}-{\rm j}8.52\cdot 10^{-4}}{0.013} = 0.0148-{\rm j}0.0655 \notag \end{align}\]

例3.1说明了广义常数为分析双绕组变压器的工作特性提供了一种快速方法。

双绕组自耦变压器

双绕组变压器可以连接为自耦变压器。如下图所示，将高压端子 ${\rm H_1}$ 连接到低压端子 ${\rm X_2}$ 可以构成一个升压自耦变压器。电源连接到端子 ${\rm H_1}$ 和${\rm H_2}$ ，负载连接在 ${\rm X_1}$ 端子和 ${\rm H_2}$ 的延长线之间。在图中， ${V_\text{s}}$ 是源电压， ${V_\text{L}}$ 是负载电压。

双绕组变压器的低压绕组将被称为自耦变压器的串联绕组，而高压绕组将被称为并联绕组。

$升压自耦变压器\label{p7.3}$

可以为自耦变压器建立类似于双绕组变压器的广义常数，总等效变压器阻抗指的是串联绕组，理想变压器方程式仍然适用。

在二次侧电路应用KVL：

\[\begin{equation} E_1 +E_2 = V_{\rm L} + Z_{\rm t} \cdot I_2 \label{7.19} \end{equation}\]

使用理想变压器关系公式，上式变为

\[\begin{equation} E_1 +n_{\rm t} \cdot E_1 = (1+n_{\rm t})\cdot E_1 =V_{\rm L} + Z_{\rm t} \cdot I_2 \label{7.20} \end{equation}\]

由于源电压 $V_{\rm S}$ 等于 $E_1$ ， $I_2$ 等于 $I_{\rm L}$ ，因此上式可以修改为：

\[\begin{gather} V_{\rm S} = \frac{1}{1+n_{\rm t}}\cdot V_{\rm L}+\frac{Z_{\rm t}}{1+n_{\rm t}}\cdot I_{\rm L} \label{7.21}\\ V_{\rm S} = a\cdot V_{\rm L}+b\cdot I_{\rm L} \label{7.22} \end{gather}\]

其中：

\[\begin{gather} a = \frac{1}{1+n_{\rm t}} \label{7.23}\\ b = \frac{Z_{\rm t}}{1+n_{\rm t}} \label{7.24} \end{gather}\]

在节点 ${\rm H_1}$ 应用KCL：

\[\begin{equation} \label{7.25} \begin{split} I_{\rm s} &= I_1 +I_2 +I_{\rm ex} \\ ~ &= (1+n_{\rm t})\cdot I_2 +Y_{\rm m}\cdot V_{\rm S} \end{split} \end{equation}\]

将式$V_{\rm S}$代入上式：

\[\begin{align} I_{\rm s} & = (1+n_{\rm t})\cdot I_2 + Y_{\rm m}\left(\frac{1}{1+n_{\rm t}}\cdot V_{\rm L}+\frac{Z_{\rm t}}{1+n_{\rm t}}\cdot I_2 \right ) \nonumber \\ ~ & = \frac{Y_{\rm m}}{1+n_{\rm t}}\cdot V_{\rm L} + \left(\frac{Y_{\rm m}\cdot Z_{\rm t}}{1+n_{\rm t}}+n_{\rm t} +1 \right )\cdot I_2 \label{7.26} \\ ~ & = c\cdot V_{\rm L} + d\cdot I_2 \nonumber \end{align}\]

其中：

\[\begin{align} c &= \frac{Y_{\rm m}}{1+n_{\rm t}} \label{7.27} \\ d &= \frac{Y_{\rm m}\cdot Z_{\rm t}}{1+n_{\rm t}}+n_{\rm t}+1 \label{7.28} \end{align}\]

$a$、$b$、$c$、$d$四式定义了广义常数，将源电压和电流作为升压自耦变压器输出电压和电流的函数关联起来。

如图所示，双绕组变压器也可通过反转并联和串联绕组之间的连接来以降压方式连接。可以按照与升压连接相同的步骤为降压连接设定广义常数。

$降压自耦变压器\label{p7.4}$

在二次侧电路应用KVL：

\[\begin{equation} E_1 -E_2 = V_{\rm L} + Z_{\rm t}\cdot I_2 \label{7.29} \end{equation}\]

使用理想变压器关系公式：

\[\begin{equation} E_1 -n_{\rm t}\cdot E_1 = (1-n_{\rm t})\cdot E_1 = V_{\rm L} + Z_{\rm t}\cdot I_2 \label{7.30} \end{equation}\]

由于源电压 $V_{\rm S}$ 等于 $E_1$ ，并且 $I_2$ 等于 $I_{\rm L}$ ，因此可以将上式修改为

\[\begin{align} V_{\rm s} & = \frac{1}{1-n_{\rm t}}\cdot V_{\rm L}+\frac{Z_{\rm t}}{1-n_{\rm t}}\cdot I_{\rm L} \label{7.31} \\ V_{\rm s} & = a\cdot V_{\rm L}+b\cdot I_{\rm L} \label{7.32} \end{align}\]

其中：

\[\begin{gather} a = \frac{1}{1-n_{\rm t}} \label{7.33}\\ b = \frac{Z_{\rm t}}{1-n_{\rm t}} \label{7.34} \end{gather}\]

在这一节点上观察到，对于常数$a$和$b$，用于升压连接的方程，与用于降压连接的方程之间的唯一差异，是匝数比$n_{\rm t}$前面的符号。对于常数$c$和$d$也是如此。因此对于降压连接，常数$c$和$d$定义如下：

\[\begin{gather} c = \frac{Y_{\rm m}}{1-n_{\rm t}} \label{7.35}\\ d= \frac{Y_{\rm m}\cdot Z_{\rm t}}{1-n_{\rm t}}+1-n_{\rm t} \label{7.36} \end{gather}\]

广义常数的定义之间的唯一区别是匝数比$n_{\rm t}$的符号。一般来说，广义常数可以定义为

\[\begin{gather} a = \frac{1}{1\pm n_{\rm t}} \label{7.37}\\ b = \frac{Z_{\rm t}}{1\pm n_{\rm t}} \label{7.38}\\ c = \frac{Y_{\rm m}}{1\pm n_{\rm t}} \label{7.39}\\ d= \frac{Y_{\rm m}\cdot Z_{\rm t}}{1\pm n_{\rm t}}+1\pm n_{\rm t} \label{7.40} \end{gather}\]

在这四式中，等式中的符号对升压连接为正，对于降压连接为负。

与双绕组变压器一样，有时需要将输出电压作为源电压和输出电流的函数关联起来。解出输出电压：

\[\begin{gather} V_{\rm L} = \frac{1}{a} \cdot V_{\rm S} - \frac{b}{a} \cdot I_{\rm 2} \label{7.41}\\ V_{\rm L} = A \cdot V_{\rm S} - B \cdot I_2 \label{7.42} \end{gather}\]

其中：

\[\begin{gather} A = \frac{1}{a} = 1\pm n_{\rm t} \label{7.43}\\ B = \frac{b}{a} = Z_{\rm t} \label{7.44} \end{gather}\]

现在我们已经建立了升压和降压自耦变压器的广义方程，它们的形式完全相同。它们的形式与前述章节中的双绕组变压器和线路段的形式完全相同。对于单相自耦变压器，广义常数是单个值，但之后会扩展为3 $\times$ 3矩阵以用于三相自耦变压器。

自耦变压器额定值

自耦变压器的功率额定值是额定输入电压 $V_{\rm S}$ 乘以额定输入电流 $I_{\rm S}$ 或额定负载电压 $V_{\rm L}$ 乘以额定负载电流 $I_{\rm L}$。

定义双绕组变压器和自耦变压器的额定功率和额定电压为

$kVA_{\rm xfm}$ = 双绕组变压器的额定功率值

$kVA_{\rm auto}$ = 自耦变压器的额定功率值

$V_{\rm rated\ 1}$ = $E_1$ = 双绕组变压器的额定电源电压

$V_{\rm rated\ 2}$ = $E_2$ = 双绕组变压器的额定负载电压

$V_{\rm auto\ S}$ = 自耦变压器的额定电源电压

$V_{\rm auto\ L}$ = 自耦变压器的额定负载电压

对于下面的推导，忽略通过串联绕组阻抗的电压降：

\[\begin{equation} V_{\rm auto\ L} = E_1 \pm E_2 =(1\pm n_{\rm t})\cdot E_1 \label{7.45} \end{equation}\]

额定输出功率则为

\[\begin{equation} kVA_{\rm auto} = V_{\rm auto\ L} \cdot I_2 =(1\pm n_{\rm t})\cdot E_1\cdot I_2 \label{7.46} \end{equation}\]

又有

\[ I_2 =　\frac{I_1}{n_{\rm t}} \]

因此：

\[\begin{equation} kVA_{\rm auto} = \frac{(1\pm n_{\rm t})}{n_{\rm t}} \cdot E_1 \cdot I_1 \label{7.47} \end{equation}\]

又有

\[ E_1 \cdot I_1 = kVA_{\rm xfm} \]

因此：

\[\begin{equation} kVA_{\rm auto} = \frac{1\pm n_{\rm t}}{n_{\rm t}}\cdot kVA_{\rm xfm} \label{7.48} \end{equation}\]

上式给出了连接为自耦变压器时双绕组变压器的功率额定值。对于升压连接， $n_{\rm t}$ 的符号将为正，而降压 $n_{\rm t}$ 符号将为负。一般来说，匝数比 $n_{\rm t}$ 会是一个相对较小的值，因此自耦变压器的功率额定值将远远大于双绕组变压器的功率额定值。

例题二

例3.1的双绕组变压器连接为升压自耦变压器。计算自耦变压器的额定功率值和额定电压。

例3.1：单相变压器的额定值为75 kVA，2400V-240 V。变压器具有以下阻抗和并联导纳：

$Z_1$ = 0.612 + j1.2 ($\Omega$) (高压绕组阻抗)

$Z_2$ = 0.0061 + j0.0115 ($\Omega$) (低压绕组阻抗)

$Y_{\rm m}$ = 1.92×10 $^{-4}$ – j8.52×10 $^{-4}$ (S)(等效到高压绕组)

计算广义常数$a$、$b$、$c$、$d$和$A$、$B$。

解答

由例3.1，匝数比被确定为 $n_{\rm t}$ = 0.1。自耦变压器的额定功率值由下式给出：

\[ kVA_{\rm auto} = \frac{1+ 0.1}{0.1}\times 75 = 825\ \text{(kVA)} \]

额定电压为

\[\begin{gather*} V_{\rm auto\ S} = V_{\rm rated\ 1} = 2400\ \text{(V)}\\ V_{\rm auto\ L} = V_{\rm rated\ 1} + V_{\rm rated\ 2} = 2640\ \text{(V)} \end{gather*}\]

因此，自耦变压器的额定值为825 kVA，2400V-2640 V。

现在假定自耦变压器在额定电压下提供额定功率，功率因数为0.9（滞后）。计算负载电压和电流：

\[\begin{align} V_{\rm L} & = V_{\rm auto\ L} = 2640\angle{0}\ \text{(V)} \notag \\ I_2 & = \frac{kVA_{\rm auto} \cdot 1000}{V_{\rm auto\ L}} = \frac{825000}{2640}\angle{-{\rm cos}^{-1}(0.9)} = 312.5\angle{-25.84}\ \text{(A)} \notag \end{align}\]

计算广义常数：

\[\begin{align} a & = \frac{1}{1+0.1} = 0.9091 \notag \\ b & = \frac{0.0122+{\rm j}0.0235}{1+0.1} = 0.0111+{\rm j}0.0214 \notag \\ c & = \frac{(1.92-{\rm j}8.52)\times 10^{-4}}{1+0.1} = (1.7455-{\rm j}7.7455)\times 10^{-4} \notag \end{align}\]

\[ d = \left[\frac{(1.92-{\rm j}8.52)\times 10^{-4}\times (0.0122+{\rm j}0.0235)}{1+0.1} \right ]+(1+0.1) = 1.10002-\text{j}0.000005 \]

应用广义常数：

\[\begin{align} V_{\rm S} & = a\cdot 2640\angle{0} + b\cdot 312.5\angle{-25.84} = 2406.0\angle{0.1}\ \text{(V)} \notag \\ I_{\rm S} & = c\cdot 2640\angle{0} + d\cdot 312.5\angle{-25.84} = 345.07\angle{-26.11}\ \text{(A)} \notag \end{align}\]

当已知电源电压和负载电流，需计算负载电压时，需要计算参数$A$和$B$：

\[\begin{align} A & = 1+n_{\rm t} = 1.1000 \notag \\ B & = Z_{\rm t} = 0.0122+{\rm j}0.0235 \notag \end{align}\]

负载电压可以由下式计算得到：

\[ V_{\rm L} = A\cdot 2406.04\angle{0.107}-B\cdot 312.5\angle{-25.84 } = 2640.0\angle{0}\ \text{(V)} \]

单位阻抗

基于自耦变压器功率和电压额定值的自耦变压器的单位阻抗可根据基于双绕组变压器额定值的双绕组变压器的单位阻抗来确定。根据双绕组变压器的功率和电压额定值，有 $Z_{\rm pu\ xfm}$ =双绕组变压器的单位阻抗，$V_{\rm rated\ 2}$ = 双绕组变压器的额定负载电压。

以低压绕组（自耦变压器的串联绕组）为基础的双绕组变压器的基准阻抗为

\[\begin{equation} Z_{\rm base\ xfm} = \frac{V_{\rm rated\ 2}^{2}}{kVA_{\rm xfm}\cdot 1000} \label{7.49} \end{equation}\]

等效到低压（串联）绕组的变压器的实际阻抗为

\[\begin{equation} Z_{\rm t\ actual} = Z_{\rm t\ pu}\cdot Z_{\rm base\ xfm} = Z_{\rm t\ pu}\cdot \frac{V_{\rm rated\ 2}^{2}}{kVA_{\rm xfm}\cdot 1000} \label{7.50} \end{equation}\]

假设自耦变压器的额定电源电压是系统的额定电压，那么：

\[\begin{equation} V_{\rm nominal} = V_{\rm rated\ 1} = \frac{V_{\rm rated\ 2}}{n_{\rm t}} \label{7.51} \end{equation}\]

以系统额定电压为参考的自耦变压器的基准阻抗为

\[\begin{equation} Z_{\rm base\ auto} = \frac{V_{\rm nominal}^{2}}{kVA_{\rm auto}\cdot 1000} \label{7.52} \end{equation}\]

将式$kVA_{\rm auto}$和式$V_{\rm nominal}$代入上式：

\[\begin{equation} \label{7.53} \begin{split} Z_{\rm base\ auto} &= \frac{V_{\rm nominal}^{2}}{kVA_{\rm auto}\cdot 1000} = \frac{\left(\frac{V_{\rm rated\ 2}}{n_{\rm t}} \right)^{2}}{\frac{1\pm n_{\rm t}}{n_{\rm t}}\cdot kVA_{\rm xfm}\cdot 1000}\\ ~ &= \frac{V_{\rm rated\ 2} ^{2}}{n_{\rm t}\cdot (1\pm n_{\rm t})\cdot kVA_{\rm xfm}\cdot 1000} \end{split} \end{equation}\]

基于自耦变压器额定值的自耦变压器的单位阻抗为

\[\begin{equation} Z_{\rm auto\ pu} = \frac{Z_{\rm t\ actual}}{Z_{\rm base\ auto}} \label{7.54} \end{equation}\]

将式$Z_{\rm t\ actual}$和式$Z_{\rm base\ auto}$代入上式：

\[\begin{equation} Z_{\rm auto\ pu} = Z_{\rm t\ pu}\cdot \frac{\frac{V_{\rm rated\ 2} ^{2}}{kVA_{\rm xfm}\cdot 1000}}{\frac{V_{\rm rated\ 2} ^{2}}{n_{\rm t}\cdot (1\pm n_{\rm t})\cdot kVA_{\rm xfm}\cdot 1000}} = n_{\rm t}\cdot (1\pm n_{\rm t})\cdot Z_{\rm t\ pu} \label{7.55} \end{equation}\]

该式给出了自耦变压器的单位阻抗与双绕组变压器的单位阻抗之间的关系。其要点是，自耦变压器的单位阻抗与双绕组变压器相比是非常小的。当自耦变压器连接成提升10$\%$ 的电压的结构时， $n_{\rm t}$ 的值为0.1，该式变为

\[\begin{equation} Z_{\rm auto\ pu} = 0.1\cdot (1+ 0.1)\cdot Z_{\rm t\ pu} = 0.11\cdot Z_{\rm t\ pu} \label{7.56} \end{equation}\]

自耦变压器的单位并联导纳可以建立为双绕组变压器单位并联导纳的函数，并联导纳等效到双绕组变压器的一次侧。设：

$Y_{\rm t\ pu}$ = $Y_{\rm m\ pu}$ = 基于变压器额定值的双绕组变压器的单位导纳

$Y_{\rm auto\ pu}$ = 基于自耦变压器额定值的自耦变压器的单位导纳

等效到一次侧的双绕组变压器的基准导纳由下式给出：

\[\begin{equation} Y_{\rm base\ source} = \frac{kVA_{\rm xfm}\cdot 1000}{V_{\rm rated\ 1}^{2}} \label{7.57} \end{equation}\]

等效到双绕组变压器一次侧的实际并联导纳是：

\[\begin{equation} Y_{\rm t\ source} = Y_{\rm t\ pu}\cdot Y_{\rm base\ source} = Y_{\rm t\ pu}\cdot \frac{kVA_{\rm xfm}\cdot 1000}{V_{\rm rated\ 1}^{2}} \label{7.58} \end{equation}\]

自耦变压器的单位并联导纳由下式给出：

\[\begin{equation} Y_{\rm auto\ pu} = \frac{Y_{\rm t\ source}}{Y_{\rm base\ auto}} = Y_{\rm t\ source}\cdot \frac{V_{\rm rated\ 1}^{2}}{kVA_{\rm auto}\cdot 1000} \label{7.59} \end{equation}\]

将式$Y_{\rm t\ source}$代入上式：

\[\begin{equation} \label{7.60} \begin{split} Y_{\rm auto\ pu} &= Y_{\rm t\ pu}\cdot \frac{kVA_{\rm xfm}\cdot 1000}{V_{\rm rated\ 1}^{2}}\cdot \frac{V_{\rm rated\ 1}^{2}}{kVA_{\rm auto}\cdot 1000} \\ ~ &= Y_{\rm t\ pu}\cdot \frac{kVA_{\rm xfm} }{kVA_{\rm auto}} = Y_{\rm t\ pu}\cdot \frac{kVA_{\rm xfm}}{\frac{(1\pm n_{\rm t})}{n_{\rm t}}\cdot kVA_{\rm xfm}} = \frac{n_{\rm t}}{1\pm n_{\rm t}}\cdot Y_{\rm t\ pu} \end{split} \end{equation}\]

上式表明，基于自耦变压器额定值的单位导纳远小于双绕组变压器的单位导纳。对于$n_{\rm t}$ = 0.1的升压连接的自耦变压器，该式变为

\[ Y_{\rm auto\ pu} = \frac{0.1}{1+0.1}\cdot Y_{\rm t\ pu} = 0.0909\cdot Y_{\rm t\ pu} \]

这表明，基于自耦变压器额定功率和额定电压的单位阻抗和导纳值，大约是双绕组变压器的十分之一。

例题三

例3.2中，等效到双绕组变压器一次侧的并联导纳为

\[ Y_{\rm t} = Y_{\rm m} = 1.92\cdot 10^{-4} -{\rm j}8.52\cdot 10^{-4}\ {\rm S} \]

自耦变压器的功率额定值为825 kVA，电压额定值为2400 V-2640 V。计算基于双绕组变压器额定值的单位并联导纳，计算基于自耦变压器功率额定值和2400 V额定电压的单位导纳，并计算自耦变压器的单位导纳与双绕组变压器的单位导纳的比值。

解答

等效到一次侧的双绕组变压器的基准导纳为

\[ Y_{\rm base\ source} = \frac{75\times 1000}{2400^{2}} = 0.013 \]

基于双绕组变压器额定值的单位并联导纳为

\[ Y_{\rm t\ pu} = \frac{1.92\times 10^{-4} -{\rm j}8.52\times 10^{-4}}{0.013} = 0.014746-{\rm j}0.065434 \]

\[ Y_{\rm base\ auto} = \frac{825\times 1000}{2400^{2}} = 0.1432 \]

\[\begin{align} Y_{\rm auto\ pu} & = \frac{1.92\times 10^{-4} -{\rm j}8.52\times 10^{-4}}{0.1432} = 0.001341-{\rm j}0.005949 \notag \\ Ratio & = \frac{0.001341-{\rm j}0.005949}{0.014746-{\rm j}0.065434} = 0.0909 \notag \end{align}\]

在本节中，我们建立了升压和降压连接的自耦变压器的等效电路。这些等效电路包含了串联阻抗和并联导纳。如果需要对自耦变压器进行详细分析，则应考虑串联阻抗和并联导纳。然而，已经证明这些值非常小，并且当自耦变压器作为配电系统的组成部分时，忽略等效电路的串联阻抗和并联导纳所产生的误差很小。

步进电压调节器

步进电压调节器由自耦变压器和能改变结构的负载分接头组成。通过改变自耦变压器的串联绕组的抽头来获得电压变化。分接头的位置由控制电路（线路压降补偿器）确定。标准步进调节器包含一个可实现 $\pm$ 10 % 调节范围的换向开关，通常可调节32步。这相当于每一步变化0.625 %，在120 V的基础上，可以计算得到每步变化0.75 V。根据ANSI / IEEE C57.15-1986标准，步进调节器可以连接成A型或B型，其中B型连接较为常见，如图所示。

$B型连接步进电压调节器\label{p7.5}$

图为步进电压调节器控制电路，需要进行以下设置：

$步进电压调节器控制电路\label{p7.6}$

（1）电压电平：在负载中心保持的期望电压（如120V基准电压）。负载中心可以是调节器的输出端子或馈线上的远端节点。

（2）带宽：负载中心电压与设定电压的允许偏差。在负载中心保持的电压将是电压电平 $\pm$ 一半带宽。例如，如果电压电平设置为122 V，带宽设置为2 V，则调节器将调整分接头，直到负载中心电压位于121 V和123 V之间。

（3）时间延迟：从产生调节信号到执行调节指令之间的延迟时间，这可以防止在瞬态响应或电流短时变化期间分接头发生变化。

（4）线路压降补偿器：设置为电压调节器和负载中心间的电压降（线路压降），这些设置包含$R$和$X$的设置（对应于调节器和负载中心之间的等效阻抗），如果调节器输出端子是负载中心，则此设置可能为零。

步进电压调节器所需的功率额定值基于换位后的线路容量，而不是线路的额定功率值。一般来说，步进电压调节器的功率额定值是线路额定值的10 $\%$ ，因为当额定电流流过串联绕组，通常会产生 $\pm$ 10 $\%$ 的电压变化。步进电压调节器的功率额定值与前面讨论的自耦变压器相同。

单相步进电压调节器

由于步进电压调节器的串联阻抗和并联导纳值非常小，在以下等效电路中它们将被忽略。应该指出的是，如果希望考虑阻抗和导纳，它们可以按照最初在自耦变压器等效电路中建模的方式加入到电压调节器的等效电路中。

A型步进电压调节器

图显示了处于升压位置的A型步进电压调节器的详细等效电路和简化等效电路。如图所示，系统的主电路直接连接到A型调节器的并联绕组。串联绕组连接到并联绕组，然后通过分接头连接到调节电路。就此而言，由于并联绕组直接连接在主电路上，所以磁芯激励会发生变化。

$处于升压位置的A型步进电压调节器\label{p7.7}$

当A型连接处于降压位置时，换向开关连接至L端子，在这种情况下，串联和并联绕组中电流的方向得到反转。图显示了处于降压位置的A型步进电压调节器的等效电路和简化电路。

$处于降压位置的A型步进电压调节器\label{p7.8}$

B型步进电压调节器

步进电压调节器更常见的连接方式是B型。由于这是更常见的连接方式，因此电压调节器电压和电流的定义式仅针对B型连接建立。

图显示了处于升压位置的B型步进电压调节器的详细和简化等效电路。系统的主电路通过抽头连接到B型连接的调节器的串联绕组，串联绕组再连接到并联绕组，该并联绕组直接连接到调节电路。在B型调节器中，由于并联绕组连接在调节电路两端，所以磁芯励磁恒定。

$处于升压位置的B型步进电压调节器\label{p7.9}$

电压调节器在升压位置时电压和电流的定义式如下：

\[\begin{equation} \text{电压式} \qquad \qquad \qquad \text{电流式} \nonumber \end{equation}\] \[\begin{equation} \frac{E_1}{N_1} = \frac{E_2}{N_2} \qquad \qquad \qquad N_1\cdot I_1 = N_2\cdot I_2 \label{7.61} \end{equation}\] \[\begin{equation} V_{\rm S} = E_1-E_2 \qquad \qquad \qquad I_{\rm L} = I_{\rm S}-I_1 \label{7.62} \end{equation}\] \[\begin{equation} V_{\rm L} = E_1 \qquad \qquad \qquad I_2 = I_{\rm S} \label{7.63} \end{equation}\] \[\begin{equation} E_2 = \frac{N_2}{N_1}\cdot E_1 = \frac{N_2}{N_1}\cdot V_{\rm L} \qquad \qquad \qquad I_1 = \frac{N_2}{N_1}\cdot I_2 = \frac{N_2}{N_1}\cdot I_{\rm S} \label{7.64} \end{equation}\] \[\begin{equation} V_{\rm S} = \left(1-\frac{N_2}{N_1} \right )\cdot V_{\rm L} \qquad \qquad \qquad I_{\rm L} = \left(1-\frac{N_2}{N_1} \right )\cdot I_{\rm S} \label{7.65} \end{equation}\] \[\begin{equation} V_{\rm S} = a_{\rm R}\cdot V_{\rm L} \qquad \qquad \qquad I_{\rm L} = a_{\rm R}\cdot I_{\rm S} \label{7.66} \end{equation}\] \[\begin{equation} a_{\rm R} =　1-\frac{N_2}{N_1} \label{7.67} \end{equation}\]

上式是给调节器升压位置建模的必要定义式。

图中显示了处于降压位置的B型步进电压调节器的等效电路。和A型连接一样，流过串联绕组和并联绕组的电流方向改变，但两个绕组的电压极性保持不变。

$处于降压位置的B型连接步进电压调节器\label{figure7-10}$

B型步进电压调节器在降压位置电压和电流的定义式如下：

\[\begin{equation} \text{电压式} \qquad \qquad \qquad \text{电流式} \nonumber \end{equation}\] \[\begin{equation} \frac{E_1}{N_1} = \frac{E_2}{N_2} \qquad \qquad \qquad N_1\cdot I_1 = N_2\cdot I_2 \label{7.68} \end{equation}\] \[\begin{equation} V_{\rm S} = E_1+E_2 \qquad \qquad \qquad I_{\rm L} = I_{\rm S}+I_1 \label{7.69} \end{equation}\] \[\begin{equation} V_{\rm L} = E_1 \qquad \qquad \qquad I_2 = I_{\rm S} \label{7.70} \end{equation}\] \[\begin{equation} E_2 = \frac{N_2}{N_1}\cdot E_1 = \frac{N_2}{N_1}\cdot V_{\rm L} \qquad \qquad \qquad I_1 = \frac{N_2}{N_1}\cdot I_2 = \frac{N_2}{N_1}\cdot I_{\rm S} \label{7.71} \end{equation}\] \[\begin{equation} V_{\rm S} = \left(1+\frac{N_2}{N_1} \right )\cdot V_{\rm L} \qquad \qquad \qquad I_{\rm L} = \left(1+\frac{N_2}{N_1} \right )\cdot I_{\rm S} \label{7.72} \end{equation}\] \[\begin{equation} V_{\rm S} = a_{\rm R}\cdot V_{\rm L} \qquad \qquad \qquad I_{\rm L} = a_{\rm R}\cdot I_{\rm S} \label{7.73} \end{equation}\] \[\begin{equation} a_{\rm R} =　1+\frac{N_2}{N_1} \label{7.74} \end{equation}\]

升压和降压的式$a_{\rm R}$给出了有效调节比的值，它是串联绕组匝数（ $N_2$）与并联绕组匝数（ $N_1$）之比的函数。

B型连接的调节器在升压和降压位置的电压和电流方程之间唯一的区别是匝数比（ $N_2$ / $N_1$ ）的符号。绕组的实际匝数比未知，然而特定的分接头位置是已知的。式$a_{\rm R}$可以修改为有效调节比关于分接头位置的函数。每个抽头将电压改变0.625$\%$ 或0.00625 单位。因此，有效调节比可以由下式给出：

\[\begin{equation} a_{\rm R} =　1\mp 0.00625\cdot Tap \label{7.75} \end{equation}\]

在此公式中，负号适用于升压位置，正号适用于降压位置。

广义常数

在前面的章节中，广义常数$a$、$b$、$c$、$d$已经被定义并用于各种元件。现在可以看出，广义常数$a$、$b$、$c$、$d$也可以应用于步进电压调节器。对于A型和B型调节器，源电压、电流与负载电压、电流之间的关系如下：

\[\begin{equation} \text{A型调节器}: \qquad V_{\rm S} = \frac{1}{a_{\rm R}}\cdot V_{\rm L} \qquad \qquad I_{\rm S} = a_{\rm R}\cdot I_{\rm L} \label{7.76} \end{equation}\] \[\begin{equation} \text{B型调节器}: \qquad V_{\rm S}= a_{\rm R}\cdot V_{\rm L} \qquad \qquad I_{\rm S} = \frac{1}{a_{\rm R}}\cdot I_{\rm L} \label{7.77} \end{equation}\]

因此，单相步进电压调节器的广义常数变为

\[\begin{equation} \text{A型调节器}: \quad a = \frac{1}{a_{\rm R}} \qquad b = 0 \qquad c = 0 \qquad d = a_{\rm R} \label{7.78a} \end{equation}\] \[\begin{equation} \text{B型调节器}: \quad a = a_{\rm R} \qquad b = 0 \qquad c = 0 \qquad d = \frac{1}{a_{\rm R}} \label{7.78b} \end{equation}\]

式中：$a_{\rm R}$中的符号约定见表。

	A型	B型
升压	+	-
降压	-	+

线路压降补偿器

线路压降补偿器能控制调节器上的分接头变化。

图显示了线路压降补偿器的电路简图。

对于线对地连接的调节器，额定电压是标称的线对中线电压。

对于线对线连接的调节器，额定电压是线对线电压。

电流互感器匝数比指定为 $CT_{\rm p}$ : $CT_{\rm s}$ ，其中一次额定值（ $CT_{\rm p}$ ）通常是馈线的额定电流。

$线路压降补偿器电路\label{p7.11}$

最关键的设置是以V为单位校准的 $R^{'}$ 和 $X^{'}$ ，这些值必须表示调节器到负载中心的等效阻抗，基本要求是强制每单位线路阻抗等于每单位补偿器阻抗。

制定一套一致的基准值，其中线路中的和补偿器中的每单位电压和电流相等。具体方法：通过选择线路的基准电压和电流，将系统基值分别除以电压互感器变比和电流互感器变比来计算补偿器中的基准电压和电流。对于线对地连接的调节器，选择额定线对中性点电压（ $V_{\rm LN}$ ）作为系统基准电压，选择电流互感器（ $CT_{\rm P}$ ）一次绕组的额定电流作为系统基准电流。

利用基准值表，可以通过计算每单位线路阻抗来计算以$\Omega$为单位的补偿器$R$和$X$的设置：

\[\begin{equation} \label{7.79} \begin{split} R_{\rm pu} + {\rm j}X_{\rm pu} &= \frac{R_{\text{line}\ \Omega }+{\rm j}X_{\text{line}\ \Omega }}{Z_{\rm base\ line}}\\ ~ = & (R_{\text{line}\ \Omega }+{\rm j}X_{\text{line}\ \Omega })\cdot \frac{CT_{\rm p}}{V_{\rm LN}} \end{split} \end{equation}\]

表给出了一个基准值表，并将这些规则用于线对地连接的调节器。

基准	线路	补偿器
电压	$V_{\rm LN}$	$\frac{V_{\rm LN}}{N_{\rm PT}}$
电流	$CT_{\rm P}$	$CT_{\rm S}$
阻抗	$Z_{\rm base\ line} = \frac{V_{\rm LN}}{CT_{\rm P}}$	$Z_{\rm base\ comp} = \frac{V_{\rm LN}}{N_{\rm PT}\cdot CT_{\rm S}}$

前式的单位阻抗在线路和补偿器中必须是相同的。以$\Omega$为单位的补偿器阻抗是通过将单位阻抗乘以补偿器基准阻抗来计算：

\[\begin{align} R_{\text{comp}\ \Omega } + {\rm j}X_{\text{comp}\ \Omega } & = (R_{\rm pu} + {\rm j}X_{\rm pu})\cdot Z_{\rm base\ comp} \nonumber \\ ~ & = (R_{\text{line}\ \Omega } + {\rm j}X_{\text{line}\ \Omega })\cdot \frac{CT_{\rm P}}{V_{\rm LN}}\cdot \frac{V_{\rm LN}}{N_{\rm PT}\cdot CT_{\rm S}} \label{7.80} \\ ~ & = (R_{\text{line}\ \Omega } + {\rm j}X_{\text{line}\ \Omega })\cdot \frac{CT_{\rm P}}{N_{\rm PT}\cdot CT_{\rm S}} \ \Omega \nonumber \end{align}\]

上式给出了以$\Omega$为单位的补偿器$R$和$X$的设置值。以V为单位的补偿器$R$和$X$的设置是通过将以$\Omega$为单位的补偿器$R$和$X$乘以电流互感器的额定二次电流（A）（ $CT_{\rm S}$ ）来确定的：

\[\begin{align} R^{'}+{\rm j}X^{'} & = (R_{\text{comp}\ \Omega } + {\rm j}X_{\text{comp}\ \Omega })\cdot CT_{\rm S} \nonumber \\ ~ & = (R_{\text{line}\ \Omega } + {\rm j}X_{\text{line}\ \Omega })\cdot \frac{CT_{\rm P}}{N_{\rm PT}\cdot CT_{\rm S}} \cdot CT_S \label{7.81} \\ ~ & = (R_{\text{line}\ \Omega } + {\rm j}X_{\text{line}\ \Omega })\cdot \frac{CT_{\rm P}}{N_{\rm PT}} \ V \nonumber \end{align}\]

例题四

如果知道从调节器到负载中心的等效阻抗（以$\Omega$为单位），那么补偿器设置的所需值（以V为单位）可由前述公式确定，下面的例3.4可以说明这一点。

参考图，变电站变压器功率额定值为5000 kVA，接法为115 kV三角形-4.16 kV接地星形，调节器到负载中心的等效线路阻抗为(0.3 + j0.9) $\Omega$ 。计算补偿器电路的电压互感器和电流互感器额定值，并计算以$\Omega$为单位和以V为单位的补偿器的$R$和$X$设置。

$线路压降补偿器电路\label{p7.11}$

解答

变电站变压器的额定线路电压为

\[ V_{\rm S} = \frac{4160}{\sqrt{3}} = 2401.8 \ {\rm (V)} \]

为了给补偿器提供大约120V的电压，变压器的比率是：

\[ N_{\rm PT} = \frac{2400}{120} = 20 \]

变电站变压器的额定电流为

\[ I_{\rm rated} = \frac{5000}{\sqrt{3}\times 4.16} = 693.9 \ {\rm (A)} \]

将$CT_{\rm P}$的额定值选择为700 A，如果补偿电流减小到5 A，则$CT$比率为

\[ CT = \frac{CT_{\rm P}}{CT_{\rm S}} = \frac{700}{5} = 140 \]

应用式()确定以V为单位的设置：

\[ R^{'}+{\rm j}X^{'} = (0.3+{\rm j}0.9)\cdot \frac{700}{20} = 10.5+{\rm j}31.5 \ {\rm (V)} \]

以$\Omega$为单位的$R$和$X$设置是通过将以V为单位中的设置除以电流互感器的额定二次电流来确定的：

\[ R_{\rm ohms}+{\rm j}X_{\rm ohms} = \frac{10.5+{\rm j}31.5}{5} = 2.1+{\rm j}6.3 \ \text{(}\Omega \text{)} \]

注意，在实际当中$R$和$X$的设置是以V为单位进行校准的。

例题五

例3.4中的变电站变压器在4.16 kV和0.9功率因数(滞后)下给2500kVA负荷供电，调节器被设置为

\[ R^{'}+{\rm j}X^{'} = 10.5+{\rm j}31.5 \ {\rm V} \]

电压电平为120 V，带宽为2 V。确定调节器的分接头位置，以将负载中心电压保持在所需电压电平和带宽范围内。

解答

第一步，计算实际线电流：

\[ I_{\rm line} = \frac{2500}{\sqrt{3}\cdot 4.16}\angle{\cos^{-1}(0.9)} = 346.97\angle{-25.84} \ {\rm (A)} \]

补偿器中的电流是：

\[ I_{\rm comp} = \frac{346.97\angle{-25.84}}{140} = 2.4783\angle{-25.84} \ {\rm (A)} \]

补偿器的输入电压为

\[ V_{\rm reg} = \frac{2401.8\angle{0}}{20} = 120.09\angle{0} \ {\rm (V)} \]

补偿器电路中的电压降等于补偿器电流乘以补偿器以$\Omega$为单位的$R$、$X$值：

\[ V_{\rm drop} = (2.1+{\rm j}6.3)\times 2.4783\angle{-25.84} = 16.458\angle{45.72} \ {\rm (V)} \]

电压继电器两端的电压为

\[ V_{\rm R} = V_{\rm reg}-V_{\rm drop} = 120.09\angle{0}-16.458\angle{45.72} =109.24\angle{-6.19} \ {\rm (V)} \]

电压继电器两端的电压代表负载中心的电压。由于这个电压远低于119 V这个最小电压电平，所以电压调节器必须在升压位置改变分接头以使负载中心电压达到所需水平。回想一下，在120 V基础上，调节器上的一步改变将使电压变化0.75 V。然后可以近似计算所需的分接头变化次数：

\[ Tap = \frac{119-109.24}{0.75} = 13.02 \]

这表明调节器的分接头最后应处于“升高13”的位置。当分接头设置在+13时，假定B型调节器的有效调节比为

\[ a_{\rm R} = 1-0.00625\times 13 = 0.9188 \]

对这种运行条件进行建模时的广义常数为

\[\begin{align} a & = a_{\rm R} = 0.9188 \nonumber \\ b & = 0 \nonumber \\ c & = 0 \nonumber \\ d & = \frac{1}{0.9188} = 1.0884 \nonumber \end{align}\]

例题六

使用例3.5的结果，假设在变电站变压器低压端子处测量的结果是4.16kV、2500kVA，计算负载中心处的实际电压。

解答

调节器负载侧端子的实际线对地电压和线电流为

\[ V_{\rm L} = \frac{V_{\rm S}}{a} = \frac{2401.8\angle{0}}{0.9188} = 2614.2\angle{0} \ {\rm (V)} \]

\[ I_{\rm L} = \frac{I_{\rm S}}{d} = \frac{346.97\angle{-25.84}}{1.0884} = 318.77\angle{-25.84} \ {\rm (A)} \]

负载中心处的实际线对地电压为

\[\begin{align} V_{\rm LC} & = V_{\rm L} - Z_{\rm line}\cdot I_{\rm L} = 2614.2\angle{0}-(0.3+j0.9)\cdot 318.77\angle{-25.84} \notag \\ & = 2412.8\angle{-5.15} \ {\rm (V)} \notag \end{align}\]

以120 V为电压基准值，将上述实际电压换算到补偿器中得到负载中心电压为

\[ VLC_{120} = \frac{V_{\rm LC}}{N_{\rm pt}} = \frac{2412.8\angle{-5.15}}{20} = 120.6\angle{-5.15} \ {\rm (V)} \]

可以发现，调节器的+13分接头已在负载中心提供了所需的电压。

作为练习，读者可尝试使用+13抽头上调节器的输出电压和电流计算补偿器电路中电压继电器两端电压$V_{\rm R}$，该值的计算结果将与以120 V为电压基准值的负载中心电压完全相同。

理解线路等效阻抗的值不是调节器和负载中心之间线路的实际阻抗这一点，对于计算来说很重要。通常，主馈线下方存在多个支路，负载中心位于其中一个支路，因此，调节器的电流互感器测量的电流不是从调节器流向负载中心的电流。确定等效线路阻抗值的唯一方法是在调节器退出运行的情况下进行网络潮流计算，从潮流结果中可得调节器输出电压和负载中心电压，则等效线路阻抗为

\[\begin{equation} R_{\text{line}\ \Omega }+{\rm j}X_{\text{line}\ \Omega } = \frac{V_{\text{调节器输出}}-V_{\text{负载中心}}}{I_{\rm line}} \ \text{(}\Omega \text{)}\label{7.82} \end{equation}\]

本节建立了A型和B型单相步进电压调节器的模型和广义常数，还对补偿器控制电路进行了建模，并说明了该电路如何控制调节器的分接头切换。

三相步进电压调节器

三个单相步进电压调节器在外部相连，可以形成一个三相电压调节器。当三个单相调节器连接在一起时，每个调节器都有自己的补偿电路，因此每个调节器的分接头都会分开切换。单相步进调节器的典型接法如下：

（1）单相；

（2）两个调节器以开放星形方式连接（也称为V相）；

（3）三个调节器以接地星形方式连接；

（4）两个调节器以开放三角形方式连接；

（5）三个调节器以闭合三角形方式连接。

三相调节器内部的三个单相绕组之间有耦合关系，且三相调节器是成组运行的，因此所有绕组上的抽头变化相同，只需要一个补偿电路。在这种情况下，由工程师决定补偿器电路采样哪一相电流和电压，三相调节器只能以三相星形或闭合三角形方式连接。

在下一部分要建立的调节器模型中，调节器源侧相使用大写字母$A$、$B$和$C$，负载相使用小写字母$a$、$b$和$c$。

星形接法调节器

图中显示了三个以星形方式连接的B型单相调节器，绕组分接头在升压位置。当调节器处于降压位置时，换向开关将对应进行调节。无论调节器是升高还是降低电压，都适用于以下公式：

$三个以星形方式连接的B型单相调节器\label{p7.12}$

电压等式：

\[\begin{equation} \begin{bmatrix} V_{An}\\ V_{Bn}\\ V_{Cn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{{\rm R}a} & 0 & 0\\ 0 & a_{{\rm R}b} & 0\\ 0 & 0 & a_{{\rm R}c} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} V_{an}\\ V_{bn}\\ V_{cn} \end{bmatrix} \label{7.83} \end{equation}\]

式中：$a_{{\rm R}a}$、$a_{{\rm R}b}$和$a_{{\rm R}c}$为三个单相调节器的有效匝数比。写为以下形式：

\[\begin{equation} [VLN_{ABC}] = [a]\cdot [VLN_{abc}]+[b]\cdot [I_{abc}] \label{7.84} \end{equation}\]

电流等式：

\[\begin{equation} \begin{bmatrix} I_A\\ I_B\\ I_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{{\rm R}a}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{a_{{\rm R}b}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{a_{{\rm R}c}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} I_a\\ I_b\\ I_c \end{bmatrix} \label{7.85} \end{equation}\]

或：

\[\begin{equation} [I_{ABC}] = [c]\cdot [VLN_{abc}]+[d]\cdot [I_{abc}] \label{7.86} \end{equation}\]

这两个等式与第2章三相线路段的广义等式形式相同。对于三相星形接法的升压调节器，忽略串联阻抗和并联导纳，广义矩阵定义为

\[\begin{gather} [a] = \begin{bmatrix} a_{{\rm R}a} & 0 & 0\\ 0 & a_{{\rm R}b} & 0\\ 0 & 0 & a_{{\rm R}c} \end{bmatrix} \label{7.87} \end{gather}\]

\[\begin{gather} [b] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \label{7.88}\\ [c] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \label{7.89} \end{gather}\] \[\begin{gather} [d] = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{{\rm R}a}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{a_{{\rm R}b}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{a_{{\rm R}c}} \end{bmatrix} \label{7.90} \end{gather}\]

在$[a]$和$[d]$中，每个调节器的有效匝数比必须满足：$0.9 \leq a_{\rm R}\leq 1.1$ ，以32步为单位，每步0.625 $\%$ （在120 V的基础上即0.75 V/步）。

当三个单相电压调节器采用星形接法时，有效匝数比（$a_{{\rm R}a}$、$a_{{\rm R}b}$和$a_{{\rm R}c}$）可以取不同的值。当仅在一相上采样时，三个有效匝数比可以设为相同，在这种情况下三相改变相同的分接头步数。

例题七

在10000m，12.47kV配电线路段的末端给不平衡的三相负载供电，已知线路段的相广义矩阵为：

\[\begin{gather*} [a] =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ [b] =\begin{bmatrix} 0.8667+{\rm j}2.0417 & 0.2955+{\rm j}0.9502 & 0.2907+{\rm j}0.7290\\ 0.2955+{\rm j}0.9502 & 0.8837+{\rm j}1.9852 & 0.2992+{\rm j}0.8023\\ 0.2907+{\rm j}0.7290 & 0.2992+{\rm j}0.8023 & 0.8741+{\rm j}2.0172 \end{bmatrix} \end{gather*}\]

计算调节器的分接头位置，使负载中心电压在119 V和121 V之间。

解答

对于这一线路，矩阵$[A]$和$[B]$为

\[\begin{align} [A] & = [a]^{-1} \nonumber \\ [B] & = [a]^{-1}\cdot [b] = [Z_{abc}] \nonumber \end{align}\]

变电站的线电压为三相平衡电压：

\[ [VLN_{ABC}] = \begin{bmatrix} 7200\angle{0}\\ 7200\angle{-120}\\ 7200\angle{120} \end{bmatrix}\ \text{(V)} \]

对于不平衡负载，变电站线电流是：

\[ [I_{abc}]=[I_{ABC}] = \begin{bmatrix} 258\angle{-20}\\ 288\angle{-147}\\ 324\angle{86} \end{bmatrix}\ \text{(A)} \]

对于测量的变电站电压和电流，负载的线电压可以计算为

\[ [Vload_{abc}]=[A]\cdot [VLN_{ABC}]-[B]\cdot [I_{abc}] = \begin{bmatrix} 6965.7\angle{-2.1}\\ 6943.1\angle{-121.2}\\ 6776.7\angle{117.8} \end{bmatrix}\ \text{(V)} \]

电压互感器比率为：

\[ N_{\rm pt} = \frac{7200}{120} = 60 \]

在120 V基准下的负载电压为

\[ [V_{120}] = \frac{1}{60}\cdot [Vload_{abc}] = \begin{bmatrix} 116.1\angle{-2.1}\\ 115.7\angle{-121.2}\\ 112.9\angle{117.8} \end{bmatrix}\ \text{(V)} \]

三个单相B型步进电压调节器采用星形接法并安装在变电站中，调节器的设置应使120 V基准下的每个相线对中性线负载电压位于119和121V之间。

调节器的电流互感器变比为

\[ CT = \frac{600}{5} = \frac{CT_{\rm p}}{CT_{\rm s}} = 120 \]

每相的等效线路阻抗可通过应用等效线路阻抗公式来确定：

\[\begin{align} Zline_a & = \frac{7200\angle{0}-6965.7\angle{-2.1}}{258\angle{-20}} = 0.5346+{\rm j}1.2385 \ \text{(}\Omega \text{)} \nonumber \\ Zline_b & = \frac{7200\angle{-120}-6943.1\angle{-121.2}}{288\angle{-147}} = 0.5628+{\rm j}0.8723 \ \text{(}\Omega \text{)} \nonumber \\ Zline_c & = \frac{7200\angle{120}-6776.7\angle{117.8}}{324\angle{86}} = 0.6387+{\rm j}1.4179 \ \text{(}\Omega \text{)} \nonumber \end{align}\]

尽管三个调节器会独立改变分接头，但通常将三个调节器的$R$和$X$设置为相同，计算以上三相阻抗的平均值设为三个调节器共同的阻抗值：

\[ Zline_{\rm average} = 0.5787+{\rm j}1.1762 \ \Omega \]

补偿器的$R$和$X$值可根据公式计算：

\[\begin{align} R^{'}+{\rm j}X^{'} & = (R_{\text{line}\ \Omega } + {\rm j}X_{\text{line}\ \Omega })\cdot \frac{CT_{\rm P}}{N_{\rm PT}} = (0.5787+{\rm j}1.1762)\times \frac{600}{60} \nonumber \\ ~ & = 5.787+{\rm j}11.762\ {\rm (V)} \nonumber \end{align}\]

补偿器的控制通常不会保留这么多位有效数字，因此可以进行四舍五入，得到补偿器应设置的值为：

\[ R^{'}+{\rm j}X^{'} = 6+{\rm j}12 \ {\rm V} \]

补偿器的控制将使得电压电平为120 V，带宽为2 V。

对于相同的不平衡负载，以及采用三相星形接法的调节器，近似的分接头设置为

\[ Tap_a = \frac{\left | 119-\left | Vload_a \right | \right |}{0.75} = \frac{\left | 119-116.1 \right |}{0.75} = 3.8667 \]

\[ Tap_b = \frac{\left | 119-\left | Vload_b \right | \right |}{0.75} = \frac{\left | 119-115.7 \right |}{0.75} = 4.4000 \]

\[ Tap_c = \frac{\left | 119-\left | Vload_c \right | \right |}{0.75} = \frac{\left | 119-112.9 \right |}{0.75} = 8.1333 \]

由于分接头位置必须设置为整数，实际的分接头设置为：

\[ Tap_a = +4 \]

\[ Tap_b = +5 \]

\[ Tap_c = +9 \]

三个调节器的有效匝数比和由此产生的广义矩阵通过对每相应用式$a_{\text{R}}$来确定：

\[\begin{align} [a_{\text{reg}}] & = \begin{bmatrix} 1-0.00625\times 4 & 0 & 0\\ 0 & 1-0.00625\times 5 & 0\\ 0 & 0 & 1-0.00625\times 9 \end{bmatrix} \nonumber \\ & = \begin{bmatrix} 0.9750 & 0 & 0\\ 0 & 0.9688 & 0\\ 0 & 0 & 0.9438 \end{bmatrix} \nonumber \\ [d_{\text{reg}}] & = [a_{\text{reg}}]^{-1} = \begin{bmatrix} 1.0256 & 0 & 0\\ 0 & 1.0323 & 0\\ 0 & 0 & 1.0595 \end{bmatrix} \nonumber \end{align}\]

经过调节器调节后，变电站的输出电压和电流可以被抬升，具体数值为

\[ [Vreg_{abc}]=[a_{\text{reg}}]^{-1}\cdot [VLN_{ABC}] = \begin{bmatrix} 7384.6\angle{0}\\ 7431.9\angle{-120}\\ 7628.7\angle{120} \end{bmatrix}\ \text{(V)} \]

调节器的输出电流为

\[ [Ireg_{abc}]=[d_{\text{reg}}]^{-1}\cdot [I_{ABC}] = \begin{bmatrix} 251.6\angle{-20}\\ 279.0\angle{-147}\\ 305.8\angle{86} \end{bmatrix}\ \text{(A)} \]

随着调节器的调整，负载电压可以计算如下：

\[ [Vload_{abc}]=[A]\cdot [Vreg_{abc}]-[B]\cdot [Ireg_{abc}] = \begin{bmatrix} 7149.2\angle{-2.0}\\ 7185.3\angle{-121.2}\\ 7232.5\angle{118.1} \end{bmatrix}\ \text{(V)} \]

以120 V电压为基准值，负载电压为

\[ [V_{120}] = \frac{1}{60}\cdot \begin{bmatrix} 7149.2\angle{-2.0}\\ 7185.3\angle{-121.2}\\ 7232.5\angle{118.1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 119.2\angle{-2.0}\\ 119.8\angle{-121.2}\\ 120.5\angle{118.1} \end{bmatrix}\ \text{(V)} \]

对于给定的调节器分接头，负载电压现在都位于119 V到121 V的期望电压值之间，即满足电压电平和带宽要求。

例3.7旨在说明，如何在知道变电站和负载的电压以及离开变电站的电流的情况下求得补偿器$R$和$X$的设置值。一般来说，需要通过潮流计算来确定变电站和负载的电压以及离开变电站的电流。

该例还表明，通过调节器分接头的设置可使负载电压位于期望的范围内。在实际运行中，按照本例的方法可以给调节器设置给定负载条件下的分接头位置，在负载变化时分接头能够随负载的变化而变化，以便将负载电压保持在期望的范围内。

闭合三角形接法调节器

图为三个以闭合三角形方式连接的单相B型调节器，调节器处于升压位置。闭合的三角形接法通常用于三线三角形馈线，此接法的电压互感器可以监测负载侧的线电压，但电流互感器不能监测负载侧的线电流。前面定义了串联和并联绕组的电压与调节器的电流之间的关系，无论调节器如何连接，这些关系都必须得到满足。

$三个以闭合三角形方式连接的单相B型调节器\label{p7.13}$

如上图所示，对于源端$A$相和$B$相之间的线电压$V_{AB}$，由基尔霍夫电压定律可知：

\[\begin{equation} V_{AB}+V_{Bb}+V_{ba}+V_{aA}=0 \label{7.91} \end{equation}\]

又有

\[\begin{align} V_{Bb} & = -\frac{N_2}{N_1}\cdot V_{bc} \label{7.92} \\ V_{aA} & = \frac{N_2}{N_1}\cdot V_{ab} \label{7.93} \end{align}\] \[\begin{equation} V_{ba} = -V_{ab} \label{7.94} \end{equation}\]

将三式代入，并化简：

\[\begin{equation} V_{AB} = (1-\frac{N_2}{N_1})\cdot V_{ab}+\frac{N_2}{N_1}\cdot V_{bc} = a_{{\rm R}ab}\cdot V_{ab}+(1-a_{{\rm R}bc})\cdot V_{bc} \label{7.95} \end{equation}\]

以此类推确定其他线电压之间的关系，最后可以得到三相电压方程为：

\[\begin{equation} \begin{bmatrix} V_{AB}\\ V_{BC}\\ V_{CA} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{{\rm R}ab} & 1-a_{{\rm R}bc} & 0\\ 0 & a_{{\rm R}bc} & 1-a_{{\rm R}ca}\\ 1-a_{{\rm R}ab} & 0 & a_{{\rm R}ca} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} V_{ab}\\ V_{bc}\\ V_{ca} \end{bmatrix} \label{7.96} \end{equation}\]

上式符合广义矩阵形式：

\[\begin{equation} [VLL_{ABC}] = [a]\cdot [VLL_{abc}]+[b]\cdot [I_{abc}] \label{7.97} \end{equation}\]

在负载侧端子$a$处应用基尔霍夫电流定律，可以得到源和负载线电流之间的关系：

\[\begin{equation} I_a = I_a^{'}+I_{ca} = I_A - I_{ab} +I_{ca} \label{7.98} \end{equation}\]

又有

\[\begin{equation} I_{ab} = \frac{N_2}{N_1}\cdot I_A \label{7.99} \end{equation}\] \[\begin{equation} I_{ca} = \frac{N_2}{N_1}\cdot I_C \label{7.100} \end{equation}\]

将这两式代入，并化简：

\[\begin{equation} I_a = \left(1- \frac{N_2}{N_1} \right) \cdot I_A + \frac{N_2}{N_1}\cdot I_{C} = a_{{\rm R}ab}\cdot I_A + (1-a_{{\rm R}ca})\cdot I_C \label{7.101} \end{equation}\]

以此类推确定其他线电流之间的关系，最后可以得到三相电流方程为：

\[\begin{equation} \begin{bmatrix} I_{a}\\ I_{b}\\ I_{c} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{{\rm R}ab} & 0 & 1-a_{{\rm R}ca}\\ 1-a_{{\rm R}ab} & a_{{\rm R}bc} & 0\\ 0 & 1-a_{{\rm R}bc} & a_{{\rm R}ca} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} I_{A}\\ I_{B}\\ I_{C} \end{bmatrix} \label{7.102} \end{equation}\]

此式符合广义矩阵形式：

\[\begin{equation} [I_{abc}] = [d]^{-1}\cdot [I_{ABC}] \label{7.103} \end{equation}\]

其中：

\[ [d]^{-1} = \begin{bmatrix} a_{{\rm R}ab} & 0 & 1-a_{{\rm R}ca}\\ 1-a_{{\rm R}ab} & a_{{\rm R}bc} & 0\\ 0 & 1-a_{{\rm R}bc} & a_{{\rm R}ca} \end{bmatrix} \]

除了所有三个调节器都处于中间位置（$a_{\rm R}$ = 1）的情况，一般来说$[d]$的所有元素都是非零的，不同相之间的线电流存在相互耦合关系。但是，当每个调节器的分接头位置已知时，可以确定$[d]^{-1}$矩阵的元素，进而通过求逆得到矩阵$[d]$，因此仍然可以应用广义形式的方程。

\[\begin{equation} [I_{ABC}] = [c]\cdot [VLL_{ABC}]+[d]\cdot [I_{abc}] \label{7.104} \end{equation}\]

与星形接法的调节器一样，若忽略每个调节器的串联阻抗和并联导纳，则矩阵$[b]$和$[c]$为零。

注意，闭合三角形接法的电压和电流方程中，每一个调节器分接头位置的变化都会影响另外两相的电压和电流。因此，增加一个调节器的分接头会影响其他调节器分接头的位置。在大多数情况下，闭合三角形接法电压调节器的带宽设置值必须比星形接法的宽。

开放三角形接法调节器

两个B型单相电压调节器能够以开放三角形接法进行连接，如图所示，其中两个单相调节器连接在相$A$、$B$和$C$、$B$之间。若将调节器接在相$B$、$C$和$A$、$C$之间或相$C$、$A$和$B$、$A$之间，则为另外两种开放三角形接法。开放的三角形接法通常在三线三角形馈线情形下应用，此时电压互感器监测线电压，电流互感器监测线电流，各调节器的基准电压和电流关系可用于确定电源侧和负载侧电压和电流之间的关系。

$开放三角形接法电压调节器\label{p7.14}$

第一个调节器的电压降 $V_{AB}$ 包括串联绕组上的压降和并联绕组上的压降：

\[\begin{equation} V_{AB} = V_{\rm AL} + V_{ab} \label{7.105} \end{equation}\]

式中：$V_{\rm AL}$为串联绕组上的压降。

注意串联和分流绕组的极性标记，串联绕组的压降为

\[\begin{equation} V_{\rm AL} = -\frac{N_2}{N_1}\cdot V_{ab} \label{7.106} \end{equation}\]

将上式代入前式得出：

\[\begin{equation} V_{AB} = \left(1-\frac{N_2}{N_1} \right )\cdot V_{ab} = a_{{\rm R}ab}\cdot V_{ab} \label{7.107} \end{equation}\]

按照相同的步骤，在与 $V_{BC}$ 连接的调节器上，电压方程为

\[\begin{equation} V_{BC} = \left(1-\frac{N_2}{N_1} \right )\cdot V_{bc} = a_{{\rm R}cb}\cdot V_{bc} \label{7.108} \end{equation}\]

由基尔霍夫电压定律：

\[\begin{equation} V_{CA} = -(V_{AB}+V_{BC}) = -a_{{\rm R}ab}\cdot V_{ab} -a_{{\rm R}cb}\cdot V_{bc} \label{7.109} \end{equation}\]

改写为矩阵形式：

\[\begin{equation} \begin{bmatrix} V_{AB}\\ V_{BC}\\ V_{CA} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{{\rm R}ab} & 0 & 0\\ 0 & a_{{\rm R}cb} & 0\\ -a_{{\rm R}ab} & -a_{{\rm R}cb} & 0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} V_{ab}\\ V_{bc}\\ V_{ca} \end{bmatrix} \label{7.110} \end{equation}\]

广义矩阵形式为

\[\begin{equation} [VLL_{ABC}] = [a_{\rm LL}]\cdot [VLL_{abc}]+[b_{\rm LL}]\cdot [I_{abc}] \label{7.111} \end{equation}\]

其中：

\[\begin{equation} [a_{\rm LL}] = \begin{bmatrix} a_{{\rm R}ab} & 0 & 0\\ 0 & a_{{\rm R}cb} & 0\\ -a_{{\rm R}ab} & -a_{{\rm R}cb} & 0 \end{bmatrix} \label{7.112} \end{equation}\]

每个调节器的有效匝数比由式$a_{{\rm R}}$给出。同样地，若忽略调节器的串联阻抗和并联导纳，则$[b_{\rm LL}]$为零。广义矩阵形式给出了源端的线到线电压与开放三角形负载侧线到线电压的关系。到目前为止，提到的电压均为线电压。

改写矩阵形式，求得开放三角形连接时，负载侧线到线电压与电源端线到线电压的关系

\[\begin{gather} \begin{bmatrix} V_{ab}\\ V_{bc}\\ V_{ca} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{{\rm R}ab}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{a_{{\rm R}cb}} & 0\\ -\frac{1}{a_{{\rm R}ab}} & -\frac{1}{a_{{\rm R}cb}} & 0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} V_{AB}\\ V_{BC}\\ V_{CA} \end{bmatrix} \label{7.113}\\ [VLL_{abc}] = [A_{\rm LL}]\cdot [VLL_{ABC}] \label{7.114} \end{gather}\]

其中：

\[\begin{equation} [A_{\rm LL}] = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{{\rm R}ab}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{a_{{\rm R}cb}} & 0\\ -\frac{1}{a_{{\rm R}ab}} & -\frac{1}{a_{{\rm R}cb}} & 0 \end{bmatrix} \label{7.115} \end{equation}\]

在每个调节器的L节点上应用基尔霍夫电流定律，可以得出电流方程式：

\[\begin{equation} I_A = I_a+I_{ab} \label{7.116} \end{equation}\]

又有

\[ I_{ab} = \frac{N_2}{N_1}\cdot I_A \]

因此

\[\begin{equation} \left(1-\frac{N_2}{N_1} \right )I_A = I_a \label{7.117} \end{equation}\]

因此：

\[\begin{equation} I_A = \frac{1}{a_{{\rm R}ab}}\cdot I_a \label{7.118} \end{equation}\]

同理，第二个调节器的电流方程由下式给出：

\[\begin{equation} I_C = \frac{1}{a_{{\rm R}cb}}\cdot I_c \label{7.119} \end{equation}\]

因为这是三相三角形线，那么：

\[\begin{equation} I_B = -(I_A+I_C) = -\frac{1}{a_{{\rm R}ab}}\cdot I_a-\frac{1}{a_{{\rm R}cb}}\cdot I_c \label{7.120} \end{equation}\]

写成矩阵形式

\[\begin{equation} \begin{bmatrix} I_A\\ I_B\\ I_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{{\rm R}ab}} & 0 & 0\\ -\frac{1}{a_{{\rm R}ab}} & 0 & -\frac{1}{a_{{\rm R}cb}}\\ 0 & 0 & \frac{1}{a_{{\rm R}cb}} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} I_a\\ I_b\\ I_c \end{bmatrix} \label{7.121} \end{equation}\]

广义矩阵形式为

\[\begin{equation} [I_{ABC}] = [c_{\rm LL}]\cdot [VLL_{ABC}]+[d_{\rm LL}]\cdot [I_{abc}] \label{7.122} \end{equation}\]

其中：

\[\begin{equation} [d_{\rm LL}] = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{{\rm R}ab}} & 0 & 0\\ -\frac{1}{a_{{\rm R}ab}} & 0 & -\frac{1}{a_{{\rm R}cb}}\\ 0 & 0 & \frac{1}{a_{{\rm R}cb}} \end{bmatrix} \label{7.123} \end{equation}\]

若忽略串联阻抗和并联导纳，则常数矩阵$[c_{\rm LL}]$为零。

改写矩阵形式，可以得到

\[\begin{gather} \begin{bmatrix} I_a\\ I_b\\ I_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{{\rm R}ab} & 0 & 0\\ -a_{{\rm R}ab} & 0 & -a_{{\rm R}cb}\\ 0 & 0 & a_{{\rm R}cb} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} I_A\\ I_B\\ I_C \end{bmatrix} \label{7.124}\\ [I_{abc}] = [D_{\rm LL}]\cdot [I_{ABC}] \label{7.125} \end{gather}\]

其中：

\[\begin{equation} [D_{\rm LL}] = \begin{bmatrix} a_{{\rm R}ab} & 0 & 0\\ -a_{{\rm R}ab} & 0 & -a_{{\rm R}cb}\\ 0 & 0 & a_{{\rm R}cb} \end{bmatrix} \label{7.126} \end{equation}\]

开放三角形补偿器$R$和$X$的设置值的确定方法遵循与星形接法调节器相同的过程。但必须注意，在开放三角形接法中，施加到补偿器的电压是线电压，电流是线电流。开放三角形接法可以维持负载中心内的两个线电压在规定的范围内，根据基尔霍夫电压定律，第三个线电压由另外两个决定。因此，第三个电压有可能不在限定的范围内。参照图，由于每个调节器都采样线电压和线电流，因此通过采用适当的线电压降并除以采样的线电流来计算等效阻抗。

$开放三角形接法调节器与负载的连接\label{p7.15}$

对于图所示的开放三角形接法调节器，等效阻抗的计算公式如下：

\[\begin{equation} Zeq_a = \frac{VR_{ab}-VL_{ab}}{I_a} \label{7.127} \end{equation}\] \[\begin{equation} Zeq_c = \frac{VR_{cb}-VL_{cb}}{I_c} \label{7.128} \end{equation}\]

这些阻抗以$\Omega$为单位，通过应用公式可以转换为补偿器电压。对于开放三角形接法，电压互感器会将系统额定线电压降低到120V。

例题八

在节点$R$处安装一个开放三角形连接调节器之前，已经在这个系统上进行了潮流计算。负载中心位于节点$L$处，如图所示。潮流计算的结果是：

节点
$R$	$VR_{ab} = 12470\angle{0}$	$VR_{bc} = 12470\angle{-120}$	$VR_{ca} = 12470\angle{120}$
	$I_a = 308.2\angle{-58.0}$	$I_b = 264.2\angle{-176.1}$	$I_c = 297.0\angle{70.3}$
$L$	$VL_{ab} = 11911\angle{-1.4}$	$VL_{bc} = 12117\angle{-122.3}$	$VL_{ca} = 11859\angle{117.3}$

$例3.8的电路\label{p7.16}$

确定补偿器$R$和$X$的设定值，使负载中心的线电压在119 V和121 V之间。

解答

对于这种接法，电压互感器比率和电流互感器比率选择为

\[\begin{align} N_{\rm pt} & = \frac{12470}{120} = 103.92 \notag \\ CT & = \frac{500}{5} = 100 \notag \end{align}\]

在120 V电压基准情况下，负载中心的电压为

\[ \begin{bmatrix} V120_{ab}\\ V120_{bc}\\ V120_{ca} \end{bmatrix} = \frac{1}{103.92}\cdot \begin{bmatrix} 11911\angle{-1.4}\\ 12117\angle{-122.3}\\ 11859\angle{117.3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 114.6\angle{-1.4}\\ 116.6\angle{-122.3}\\ 114.3\angle{117.3} \end{bmatrix} \text{(V)} \]

将两个单相B型调节器以开放三角形方式连接，调节器应连接在$A$-$B$和$B$-$C$相之间，如图所示。电压电平将设置为120 V，带宽为2 V。如上计算可知，负载中心电压不在$120\pm 1$V的期望限制内。

首先使用潮流计算的结果确定补偿器$R$和$X$的设定值。$a$相等效线路阻抗为

\[ Zeq_a = \frac{VR_{ab}-VL_{ab}}{I_a} = \frac{12470\angle{0}-11911\angle{-1.4}}{308.2\angle{-58.0}} = 0.1665+{\rm j}2.0483 \ \text{(}\Omega \text{)} \]

在计算$c$相等效线路阻抗时，须使用$c$-$b$电压：

\[ Zeq_c = \frac{VR_{cb}-VL_{cb}}{I_c} = \frac{12470\angle{60}-12117\angle{57.7}}{297.0\angle{70.3}} = 1.4945+{\rm j}1.3925 \ \text{(}\Omega \text{)} \]

与星形接法调节器的补偿电压设置有所不同，以V为单位的设定值为：

\[\begin{gather*} R_{ab}^{'}+{\rm j}X_{ab}^{'} = Zeq_a\cdot \frac{CT_{\rm p}}{N_{\rm pt}} = (0.1665+{\rm j}2.0483)\times \frac{500}{103.92} = 0.8011+{\rm j}9.8552 \ \text{(V)}\\ R_{cb}^{'}+{\rm j}X_{cb}^{'} = Zeq_c\cdot \frac{CT_{\rm p}}{N_{\rm pt}} = (1.4945+{\rm j}1.3925)\times \frac{500}{103.92} = 7.1906+{\rm j}6.6999 \ \text{(V)} \end{gather*}\]

取整后，调节器的设定值为：

\[\begin{gather*} R_{ab}^{'}+{\rm j}X_{ab}^{'} = 0.8+{\rm j}9.9 \ \text{(V)}\\ R_{cb}^{'}+{\rm j}X_{cb}^{'} = 7.2+{\rm j}6.7 \ \text{(V)} \end{gather*}\]

保持负载不变，补偿器电路中的电流和电压为

\[\begin{align} Vcomp_{ab} & = \frac{VR_{ab}}{N_{\rm pt}} = \frac{12470\angle{0}}{103.92} =　120\angle{0} \ \text{(V)} \notag \\ Vcomp_{cb} & = \frac{-VR_{bc}}{N_{\rm pt}} = \frac{12470\angle{60}}{103.92} =　120\angle{60} \ \text{(V)} \notag \\ Icomp_{a} & = \frac{I_{a}}{CT} = \frac{308.2\angle{-58.0}}{100} =　3.082\angle{-58.0} \ \text{(A)} \notag \\ Icomp_{c} & = \frac{I_{c}}{CT} = \frac{297.0\angle{70.3}}{100} =　2.97\angle{70.3} \ \text{(A)} \notag \end{align}\]

以$\Omega$为单位的补偿器阻抗通过将电压设置除以电流互感器的二次额定值来确定：

\[ R_{ab}+{\rm j}X_{ab} = \frac{R_{ab}^{'}+{\rm j}X_{ab}^{'}}{CT_{\rm S}} = \frac{0.8+{\rm j}9.9}{5} = 0.16+{\rm j}1.98 \]

\[ R_{cb}+{\rm j}X_{cb} = \frac{R_{cb}^{'}+{\rm j}X_{ccb}^{'}}{CT_{\rm S}} = \frac{7.2+{\rm j}6.7}{5} = 1.44+{\rm j}1.34 \]

两个补偿器电路中电压继电器的电压为

\[\begin{gather*} Vrelay_{ab} = Vcomp_{ab}-(R_{ab}+{\rm j}X_{ab})\cdot Icomp_a = 114.6\angle{-1.4} \ \text{(V)}\\ Vrelay_{cb} = Vcomp_{cb}-(R_{cb}+{\rm j}X_{cb})\cdot Icomp_c = 116.6\angle{57.7} \ \text{(V)} \end{gather*}\]

由于电压低于下限电压119 V，因此控制电路将发送升高电压的命令以改变两个调节器的抽头。为使每个调节器的负载中心电压达到带宽下限，所需的分接头变化次数为

\[ Tap_{ab} = \frac{\left | 119-114.6 \right |}{0.75} = 5.87\approx 6 \]

\[ Tap_{cb} = \frac{\left | 119-116.6 \right |}{0.75} = 3.20\approx 4 \]

即将分接头设置为6和4，可以进行检查以确定负载中心的电压是否在限制范围内。此时的调节比率为：

\[\begin{align} a_{Rab} & = 1.0-0.00625\cdot Tap_{ab} = 0.9625 \notag \\ a_{Rcb} & = 1.0-0.00625\cdot Tap_{cb} = 0.9750 \notag \end{align}\]

为了确定负载侧调节器的电压和电流，必须定义矩阵 $[A_{\rm LL}]$ 和 $[D_{\rm LL}]$ ：

\[\begin{align} [A_{\rm LL}] & = \begin{bmatrix} \frac{1}{0.9625} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{0.9750} & 0\\ -\frac{1}{0.9625} & -\frac{1}{0.9750} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.0390 & 0 & 0\\ 0 & 1.0256 & 0\\ -1.0390 & -1.0256 & 0 \end{bmatrix} \nonumber \\ [D_{\rm LL}] & = \begin{bmatrix} 0.9625 & 0 & 0\\ -0.9625 & 0 & -0.9750\\ 0 & 0 & 0.9750 \end{bmatrix} \nonumber \end{align}\]

调节器的输出电压为

\[ [Vreg_{abc}] = [A_{\rm LL}]\cdot [VLL_{ABC}] = \begin{bmatrix} 12956\angle{0}\\ 12790\angle{-120}\\ 12874\angle{120} \end{bmatrix}\ \text{(V)} \]

调节器的输出电流为

\[ [I_{abc}] = [D_{\rm LL}]\cdot [I_{ABC}] = \begin{bmatrix} 296.6\angle{-58.0}\\ 255.7\angle{-175.3}\\ 289.6\angle{70.3} \end{bmatrix}\ \text{(A)} \]

有两种方法可以检查负载中心的电压是否在限定范围内。第一种方法是计算补偿器电路中的继电器电压，该过程与最初确定负载中心电压时的过程相同。首先计算补偿器电路中的电压和电流：

\[\begin{align} Vcomp_{ab} & = \frac{VR_{ab}}{N_{\rm pt}} = \frac{12956\angle{0}}{103.92} =　124.7\angle{0} \ \text{(V)} \nonumber \\ Vcomp_{cb} & = \frac{-VR_{bc}}{N_{\rm pt}} = \frac{12790\angle{60}}{103.92} =　123.1\angle{60} \ \text{(V)} \nonumber \\ Icomp_{a} & = \frac{I_{a}}{CT} = \frac{296.6\angle{-58.0}}{100} =　2.966\angle{-58.0} \ \text{(A)} \nonumber \\ Icomp_{c} & = \frac{I_{c}}{CT} = \frac{289.6\angle{70.3}}{100} =　2.896\angle{70.3} \ \text{(A)} \nonumber \end{align}\]

电压继电器两端的电压为

\[\begin{gather*} Vrelay_{ab} = Vcomp_{ab}-(R_{ab}+\text{j}X_{ab})\cdot Icomp_a = 119.5\angle{-1.3} \ \text{(V)}\\ Vrelay_{cb} = Vcomp_{cb}-(R_{cb}+\text{j}X_{cb})\cdot Icomp_c = 119.8\angle{57.8} \ \text{(V)} \end{gather*}\]

由于两个电压都在带宽内，所以不需要进行进一步分接头调整。

第二种方法是使用调节器的输出电压和电流计算负载中心的实际电压，然后计算到负载中心的电压降。调节器和负载中心之间线路的相阻抗矩阵为

\[ [Z_{abc}] = \begin{bmatrix} 0.7604+{\rm j}2.6762 & 0.1804+{\rm j}1.6125 & 0.1804+{\rm j}1.2762\\ 0.1804+{\rm j}1.6125 & 0.7604+{\rm j}2.6762 & 0.1804+{\rm j}1.4773\\ 0.1804+{\rm j}1.2762 & 0.1804+{\rm j}1.4773 & 0.7604+{\rm j}2.6762 \end{bmatrix}\ \text{(}\Omega \text{)} \]

参考图，每相的压降为

\[ [v_{abc}] = [Z_{abc}]\cdot [I_{abc}] = \begin{bmatrix} 450.6\angle{-1.5}\\ 309.4\angle{-106.6}\\ 402.8\angle{142.8} \end{bmatrix}\ \text{(V)} \]

负载中心的线电压为

\[\begin{align} VL_{ab} & = Vreg_{ab} - v_a + v_b = 12420\angle{-1.3} \ {\rm (V)} \nonumber \\ VL_{bc} & = Vreg_{bc} - v_b + v_c = 12447\angle{-122.2} \ {\rm (V)} \nonumber \\ VL_{ca} & = Vreg_{ca} - v_c + v_a = 12279\angle{117.5} \ {\rm (V)} \nonumber \end{align}\]

将负载中心线间电压除以电压互感器比率可得出120 V基础上的电压：

\[\begin{align} V120_{ab} & = 119.5\angle{-1.3} \ {\rm V} \nonumber \\ V120_{bc} & = 119.8\angle{-122.2} \ {\rm V} \nonumber \\ V120_{ca} & = 118.2\angle{117.5} \ {\rm V} \nonumber \end{align}\]

在接有电压调节器的两相上保持了所期望的电压，而除这两个电压之外的第三个线电压低于限值，这是无法改进的，因为该电压是由另外两个线电压决定的。唯一的方法是为两个调节器设置较高的电压值。

这个例子详细说明了如何设置补偿器电路以及如何调节分接头，使远端负荷中心节点的电压保持在设定的限值范围内。在实际操作中，工程师的唯一工作是正确确定补偿电路的$R$和$X$设定值，并确定所需的电压电平和带宽。

上文已经给出了使用$A$、$B$和$C$、$B$相的开放三角形调节器模型，还有另外两种可能的开放三角形接法，即使用$B$、$C$和$A$、$C$相，以及$C$、$A$和$B$、$A$相，这两种接法的广义矩阵也可以使用本节介绍的步骤推导得到。

总结

本章分析表明，可以使用广义矩阵对B型步进电压调节器的所有可能连接方式进行建模，注意本章中的推导仅限于三相接法。

如果单相调节器连接于相线和中性线之间，或两个调节器以开放星形方式连接，那么$[a]$和$[d]$矩阵将与星形接法调节器的形式相同，只是行和列中的缺失相的项为零。对于线对线连接的单相调节器也是如此。同样，与缺失相关联的行和列在开放三角接法的矩阵中也为零。

本章中建立的广义矩阵与为三相线路段建立的广义矩阵形式完全相同。

节点
\(R\)	\(VR_{ab} = 12470\angle{0}\)	\(VR_{bc} = 12470\angle{-120}\)	\(VR_{ca} = 12470\angle{120}\)
	\(I_a = 308.2\angle{-58.0}\)	\(I_b = 264.2\angle{-176.1}\)	\(I_c = 297.0\angle{70.3}\)
\(L\)	\(VL_{ab} = 11911\angle{-1.4}\)	\(VL_{bc} = 12117\angle{-122.3}\)	\(VL_{ca} = 11859\angle{117.3}\)

基准	线路	补偿器
电压	\(V_{\rm LN}\)	\(\frac{V_{\rm LN}}{N_{\rm PT}}\)
电流	\(CT_{\rm P}\)	\(CT_{\rm S}\)
阻抗	\(Z_{\rm base\ line} = \frac{V_{\rm LN}}{CT_{\rm P}}\)	\(Z_{\rm base\ comp} = \frac{V_{\rm LN}}{N_{\rm PT}\cdot CT_{\rm S}}\)